納什均衡（Nash Equilibrium）：在非合作類博弈中，存在一種策略組合，使得每個(gè)參與人的策略是對(duì)其他參與人策略的最優(yōu)反應(yīng)。如果參與者當(dāng)前選擇的策略形成了“納什均衡”，那么對(duì)于任何一位參與者來(lái)說(shuō)，單方更改自己的策略不會(huì)帶來(lái)任何好處。
上面那段話值得仿佛閱讀體會(huì)，在看完例子后可以再多讀幾遍上面這段話。
具體例子如下：囚徒困境、智豬博弈、范式博弈、餓獅博弈、硬幣正反博弈。
囚犯的困境
假設(shè)有兩個(gè)小偷A(chǔ)和B聯(lián)手闖入民宅盜竊被抓，警方將兩人置于不同的房間進(jìn)行審訊，并給出如下政策：如果一個(gè)犯罪嫌疑人坦白并交出了贓物，兩人都會(huì)被判有罪。如果另一個(gè)犯罪嫌疑人也坦白，則兩人各被判刑8年；如果另一個(gè)犯罪嫌人抵賴，再加刑2年，而坦白者有功，會(huì)被立即釋放。如果兩人都抵賴，偷竊罪證據(jù)不足，但會(huì)因私入民宅而各判入獄1年。即：
表中的數(shù)字表示A，B各自的判刑結(jié)果。博弈論分析中一般都用這樣的表來(lái)表示。
此時(shí)有人會(huì)覺(jué)得雙方都抵賴就好了，但問(wèn)題是雙方被隔離，都會(huì)懷疑對(duì)方會(huì)出賣自己以求自保。
兩個(gè)人都會(huì)怎么想？
假如對(duì)方坦白，此時(shí)如果我抵賴得坐10年監(jiān)獄，如果我坦白才坐8年監(jiān)獄；假如對(duì)方抵賴，此時(shí)如果我也抵賴會(huì)被判1年，如果我坦白可以被釋放。綜合以上考慮，不管對(duì)方坦白與否，對(duì)我而言都是坦白比較劃算。此時(shí)最后的“納什均衡”只能是兩個(gè)人都坦白，共同被判8年刑期。
智豬博弈
豬圈里有兩頭豬，一頭大豬，一頭小豬。豬圈的一邊有個(gè)踏板，每踩一下踏板，在遠(yuǎn)離踏板的豬圈的另一邊的投食口就會(huì)落下少量的食物。如果一只豬去踩踏板，另一只豬就有機(jī)會(huì)搶先吃到另一邊落下的食物。但當(dāng)小豬踩踏板時(shí)，大豬會(huì)在小豬跑到食槽之前剛好吃光所有的食物；大豬踩動(dòng)了踏板，則有機(jī)會(huì)在小豬吃完落下的食物之前跑到食槽，爭(zhēng)取吃到另一半食物。
那么，兩只豬各會(huì)采取什么策略？
當(dāng)然是小豬等在食槽邊，而大豬不知疲倦地奔忙于踏板和食槽之間。因?yàn)椋∝i踩踏板將一無(wú)所獲，不踩踏板反而能吃上食物。對(duì)小豬而言，無(wú)論大豬是否踩動(dòng)踏板，不踩踏板總是好的選擇。反觀大豬，已明知小豬不會(huì)去踩動(dòng)踏板，自己親自去踩踏板還有點(diǎn)吃的，總比不踩強(qiáng)，所以只好去踩踏板。
范式博弈
GOO公司和SAM公司存在利益關(guān)系，二者的收益會(huì)隨著博弈的變化而不斷更替。如下圖：
雙方各有兩個(gè)可選策略“合作”與“背叛”，格中的四組數(shù)據(jù)表示四個(gè)博弈結(jié)局的各自收益，。每組數(shù)據(jù)的第一個(gè)數(shù)字表示GOO公司的收益，后一個(gè)數(shù)字表示SAM公司的收益。
現(xiàn)在我們站在GOO公司的角度來(lái)思考整個(gè)博弈策略。假如SAM選擇合作，那么我方合作的收益是3，而我方背叛的收益是5，我方應(yīng)該選擇背叛；假如SAM選擇背叛，那么我方合作的收益是 -3，而我方背叛的收益是-1，我方還是應(yīng)該選擇背叛。
同理，SAM公司也會(huì)做出相同的選擇。最后我們發(fā)現(xiàn)，本次博弈的雙方都采取了背叛策略，各自的收益都為-1，這是一個(gè)比較糟糕的結(jié)局，盡管對(duì)任何一方來(lái)說(shuō)都不是最糟糕的那種。
但博弈的次數(shù)往往不止一次，當(dāng)二家公司經(jīng)歷了多次背叛策略的博弈之后，發(fā)現(xiàn)公式上還有一個(gè)（3，3）收益的雙贏局面，這個(gè)結(jié)果顯然要好很多，因此二家公司在之后的博弈過(guò)程中必然會(huì)嘗試互建信任，從而驅(qū)使雙方都選擇合作策略。
但假使雙方都知道博弈次數(shù)是有限的，也許下一次博弈就是最后一次，那么為了避免對(duì)方在最后一輪博弈中選擇背叛而使我方遭受-3的損失，于是雙方都會(huì)采取了背叛策略，最后的博弈結(jié)果又回到了（-1，-1）。
由此可見(jiàn)，隨著次數(shù)的變化，博弈的性質(zhì)也會(huì)發(fā)生變化，納什均衡點(diǎn)會(huì)發(fā)生變化。
餓獅博弈
假設(shè)有A、B、C、D、E、F六只獅子（強(qiáng)弱從左到右依次排序）和一只綿羊。假設(shè)A吃掉綿羊后就會(huì)打盹，這時(shí)比A稍弱的B就會(huì)趁機(jī)吃掉A，接著B(niǎo)也會(huì)打盹，然后比B稍弱的C就會(huì)吃掉B，以此類推。問(wèn)：獅子A敢不敢吃綿羊？
該題須采用逆向分析法，從最弱的F開(kāi)始分析，依次前推。假設(shè)E睡著了，F(xiàn)肯定會(huì)吃掉E，因?yàn)樵贔的后面已沒(méi)有其它獅子了，不用擔(dān)心自己被吃掉。繼續(xù)前推，既然E知道自己睡著會(huì)被F吃掉，那么E必然不敢吃睡著了的D。既然E不敢吃掉D，那么D則可以放心去吃睡著的C。依次前推，得出C不吃，B吃，A不吃。所以答案是獅子A不敢吃掉綿羊。
但是，如果我們?cè)讵{子F的后面增加了一只獅子G，總數(shù)變成7只，用逆向分析法按照上題步驟再推一次，如下圖。這次的答案變成了獅子A敢吃掉綿羊。
對(duì)比兩次博弈我們發(fā)現(xiàn)，獅子A敢不敢吃綿羊取決于獅子總數(shù)的奇偶性：當(dāng)總數(shù)為奇數(shù)時(shí)，A敢吃；總數(shù)為偶數(shù)時(shí)，A則不敢吃。因此，總數(shù)為奇數(shù)和總數(shù)為偶數(shù)的獅群博弈結(jié)果形成了兩個(gè)穩(wěn)定的納什均衡點(diǎn)。
硬幣正反博弈
假如你和一個(gè)美女一起玩?zhèn)€數(shù)學(xué)游戲。美女提議：讓我們各自亮出硬幣的一面，如果我們都是正面，那么我給你3元；如果我們都是反面，我給你1元；剩下的情況你給我2元。那么你該不該和這位美女玩這個(gè)游戲呢？
這里需要講一下納什均衡的分類：
（1）純戰(zhàn)略納什均衡，也就是說(shuō)玩家都能夠采取固定的策略（比如一直出正面或者一直出反面），使得每人都賺得最多或虧得最少。
（2）混合戰(zhàn)略納什均衡，是對(duì)每個(gè)純戰(zhàn)略分配一個(gè)機(jī)率而形成的戰(zhàn)略。混合戰(zhàn)略允許玩家隨機(jī)選擇一個(gè)純戰(zhàn)略。混合戰(zhàn)略納什均衡中要用概率計(jì)算，達(dá)到某一概率時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)支付最優(yōu)。因?yàn)楦怕适沁B續(xù)的，所以即使戰(zhàn)略集合是有限的，也會(huì)有無(wú)限多個(gè)混合戰(zhàn)略。
在這個(gè)游戲中，應(yīng)該采用混合策略納什均衡。
假設(shè)我們出正面的概率是x，出反面的概率是1-x，美女出正面的概率是y，出反面的概率是1-y。為了使利益最大化，應(yīng)該在對(duì)手出正面或反面的時(shí)候我們的收益都相等，即：
3x + (-2)(1-x) = (-2) * x + 1*(1-x )
解方程得x=3/8；
同樣，美女的收益：-3y + 2(1-y) = 2y+ (-1) * (1-y)，
解方程同樣得y等于3/8。
于是，我們就可以算美女每次的期望收益是：(1-y) * (2x-(1-x)) + y(-3x+2(1-x)) = 1/8元，即雙方都采取最優(yōu)策略的情況下，美女平均每次贏1/8元。
所以當(dāng)然不能和她玩這個(gè)游戲。其實(shí)只要美女采取了（3/8, 5/8）這個(gè)方案，不論你采用什么方案，都是不能改變局面的。
但是當(dāng)你也采用最佳策略時(shí)，至少可以保證自己輸?shù)米钌佟７駝t，你會(huì)賠掉更多。
