e (自然常數(shù)，也稱為歐拉數(shù))是自然對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)。它是數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù)之一，是一個(gè)無理數(shù)，就是說跟 π 一樣是無限不循環(huán)小數(shù)，在小數(shù)點(diǎn)后面無窮無盡，永不重復(fù)......

下面就是 e 的 2999 位有效數(shù)字，請(qǐng)注意不同的位我用不同的顏色表示出來了，有規(guī)律嗎？還是隨機(jī)的呢？

數(shù)學(xué)里的自然底數(shù)e是怎么來的？數(shù)學(xué)家歐拉解開了它的神秘面紗

與我們更熟知的兩個(gè)無理數(shù)圓周率 π 和 √2 不同，它不是由數(shù)學(xué)家由幾何問題上發(fā)現(xiàn)而來的，而出自一個(gè)金融問題，是用來表示增長率和變化率的常數(shù)，很多增長與衰減過程中都出現(xiàn)了 e 的身影。

它為什么會(huì)和增長率有聯(lián)系呢? 讓我們回到來 17 世紀(jì)，看看發(fā)現(xiàn) e 的第一人：瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利以及他所研究的這個(gè)銀行的利率問題.

▲ 伯努利家族里的幾位數(shù)學(xué)家與歐拉

e 與復(fù)利問題

雅各布·伯努利在研究復(fù)利的時(shí)候發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象: 假設(shè)在銀行存了 1 塊錢本金，而銀行提供的年利率是 100%。這樣的話，1 年后連本帶息，將會(huì)得到 2 塊錢，這個(gè)非常容易理解。

那么現(xiàn)在考慮改變計(jì)息的周期，假設(shè)半年就計(jì)算一次利息，半年利率為 50%，這樣下半年新得到的利息同樣可以生息。這樣方案最終的收益應(yīng)該比前一種更好，如何計(jì)算最終收益需要用到復(fù)利公式。

解釋一下上面的復(fù)利公式：FV（Future Value）是指財(cái)富在未來的價(jià)值；PV（Present Value）是指現(xiàn)值，亦即指本金；i（interest）是指周期內(nèi)的固定利率或固定回報(bào)率，n 則是累計(jì)的周期。現(xiàn)在直接導(dǎo)入公式中就能算出一年后收益。

這樣看來一年后共會(huì)獲得 2.25 塊錢。恩，看起來要比只計(jì)息一次強(qiáng)。那現(xiàn)在計(jì)算利率周期如果再短一些會(huì)怎么呢? 假設(shè)每個(gè)月結(jié)算一次呢？這樣月利率為 1/12 ，上面復(fù)利公式只要稍作改動(dòng)，最終計(jì)算得到大約 2.61304 塊錢，這個(gè)方案會(huì)又好一些。

現(xiàn)在可以看出這樣的規(guī)律，利息的周期越短，一年后的收益就更好. 那就讓我們繼續(xù)縮短計(jì)息的周期，變?yōu)槊恐苡?jì)算，這樣一年計(jì)息的次數(shù)就是 52 次 .

回報(bào)繼續(xù)增加，這樣我們甚至可以按每天來計(jì)息，或者半天、小時(shí)、分、秒來計(jì)算. 當(dāng)然年末所獲得的收益亦會(huì)繼續(xù)增多. 不過雅各布.伯努利發(fā)現(xiàn)隨著 n 趨于無窮，對(duì)于這樣的連續(xù)復(fù)利存在著一個(gè)極限，一個(gè)神秘的數(shù)學(xué)常數(shù)由此出現(xiàn)了:

對(duì)于上面式子考慮的極限值將是多少呢？

伯努利知道會(huì)是一個(gè) 2~3 之間的數(shù)，嘗試許久。但最終很可惜他并沒有計(jì)算出來. 這個(gè)問題由 50 年后，也就是1748年由瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉借助下面的公式計(jì)算出來 e 的小數(shù)點(diǎn)后 18 位
2.718281828459045235......，這就是描述增長率的自然常量 e 由來.

e 是無理數(shù)

歐拉不僅算出了 e 的 18 位數(shù)，并且還借助連分式的形式證明了 e 是一個(gè)無理數(shù)。下面圖像是 e 小數(shù)點(diǎn)后 21 位的連分?jǐn)?shù)形式，觀察最左側(cè)是 1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12……。

發(fā)現(xiàn)規(guī)律了沒有？如果取得 e 小數(shù)點(diǎn)后無窮位的話，這樣連分?jǐn)?shù)展開式就滿足這樣有趣的模式，那就意味著它是個(gè)無理數(shù).

歐拉恒等式中 e

既然提到了 e ，通常會(huì)提到將所有著名的常數(shù)出現(xiàn)在同一個(gè)方程 - 歐拉恒等式(Euler's identity)，被美國物理學(xué)家費(fèi)曼譽(yù)為最美的數(shù)學(xué)公式。因?yàn)檫@個(gè)等式居然把數(shù)學(xué)上 5 個(gè)最基本且重要的常數(shù)如此巧妙地聯(lián)系起來。