導數(shù)可以說是研究函數(shù)行為最有用的數(shù)學工具。
在這篇文章中，我們將介紹計算機計算導數(shù)的三種方法。
為了簡單起見，我們將只討論單變量函數(shù)。但是，同樣的概念也適用于處理多元函數(shù)。
導數(shù)是什么?
函數(shù)的導數(shù)表示函數(shù)值隨參數(shù)的微小變化而變化的速率。
我們定義一個函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù):
視覺上,f(x)的導數(shù)是：任意x0切線的斜率:
應用這個定義，我們可以找到簡單函數(shù)導數(shù)的一般表達式，如多項式、指數(shù)、三角函數(shù)等。
因此，我們推出了兩種計算導數(shù)的方法:
通過某一點x?，根據(jù)定義
利用已知函數(shù)的導數(shù)表達式和鏈式法則
下面，我們將從計算的角度探討每種方法
數(shù)值微分
如前面所述，第一種方法意味著使用有限差分法計算某個點x?處近似導數(shù)的值：
為了實現(xiàn)這個方法，我們選擇一個小的h(接近于零)計算分數(shù)
優(yōu)點
這種方法在函數(shù)未知且只能采樣時很有用。
缺點
根據(jù)步驟h的選擇，結果的精度會受到或多或少的影響。
當涉及到高階導數(shù)和多變量函數(shù)時，數(shù)值微分就成了問題。
符號微分
第二種計算導數(shù)的方法是通過反復應用鏈式法則和已知的簡單函數(shù)的導數(shù)公式來處理數(shù)學表達式。
通過這樣做，我們找到了導數(shù)（f’（x）=…）的一般表達式，在這個表達式中，我們可以插入x?來找到某個特定點的值。
例如，讓我們在x?=1時求下列函數(shù)的導數(shù)：
利用定義，我們可以證明:
那么，通過鏈式法則，我們有
接下來，插入x?=1可以得到
優(yōu)點
由于計算是象征性的，精度問題減少了。
缺點
正如預期的那樣，如果我們正在研究的函數(shù)非常復雜，符號微分就會變得非常繁瑣，尤其是在處理多元函數(shù)和/或高階導數(shù)時。
