上二年級(jí)的小明正坐在教室里。現(xiàn)在是數(shù)學(xué)課，下午第一節(jié)，窗外的蟬鳴、緩緩旋轉(zhuǎn)的吊扇讓同學(xué)們昏昏欲睡。此時(shí)，劉老師在黑板上寫(xiě)下一個(gè)問(wèn)題：
6324 + 244675 = ？
小明抬頭看了一眼，覺(jué)得這兩個(gè)數(shù)字挺眼熟。他昨天翹課去網(wǎng)吧了，因此錯(cuò)過(guò)了劉老師講的豎式計(jì)算加法。
“同學(xué)們算一算這道題。”劉老師和藹可親地說(shuō)道。
小明盯著黑板懵逼。
小學(xué)二年級(jí)的他面對(duì)這樣一道世界級(jí)難題，束手無(wú)策。小明伸出了自己的左手，打算用一個(gè)古老而深邃的方法--掰手指--嘗試一下。
小明發(fā)現(xiàn)他的每只手只能輸入0-5中的正整數(shù)，和的范圍僅限于0-10，離6324還十分遙遠(yuǎn)。
“慢著！”小明看向了自己的左手。他發(fā)現(xiàn)，事情有一點(diǎn)不對(duì)勁。
我們也來(lái)看看小明的左手。這只左手有5根手指，我們把5根手指都伸開(kāi)來(lái)記為11111，5根手指握拳記為00000，手背面向我們，左手小指是第一個(gè)1/0。
小明緊緊地握拳，然后伸出大拇指，此時(shí)的左手為00001。“如果，”小明想，“這樣是1”。
他縮回拇指，伸出食指，此時(shí)的左手為00010；“這樣是2”。
他又伸出拇指，此時(shí)的左手為00011；“那么這樣是3”。
他縮回拇指和食指，伸出中指，此時(shí)的左手為對(duì)著自己豎中指00100；“這樣就是4！”
.....小明的左手飛速運(yùn)動(dòng)著，直到五根手指都伸直，像是鋼鐵俠射了一發(fā)掌心炮11111；“這樣就是31！一只手可以表示0-31中的任意正整數(shù)！”
小明為自己的發(fā)現(xiàn)感到激動(dòng)?？伤恢涝趺幢硎炯臃ā?/p>
小明的同桌，英語(yǔ)課代表小紅，看他擺弄了半天左手，忍不住問(wèn)他在干什么。小明解釋了他的發(fā)現(xiàn)。小紅聽(tīng)了小明的一番高論，若有所思，提筆在數(shù)學(xué)書(shū)的封底畫(huà)了一個(gè)表格：
小紅畫(huà)的表格
“如果我們能造一個(gè)機(jī)器，給它三個(gè)輸入，它能返回兩個(gè)結(jié)果，那我們就能算出這道題！”小紅激動(dòng)地說(shuō)。
“啥叫進(jìn)位啊美女？”小明問(wèn)道。
“就是你列豎式的時(shí)候畫(huà)的一小撇”，小紅回答。
“獵術(shù)士是什么，我知道獵魔人和古爾丹。”
小紅于是講解了一下怎么列豎式計(jì)算十進(jìn)制加法。“我懂了。”
小明說(shuō)著，拿過(guò)小紅的數(shù)學(xué)書(shū)，補(bǔ)全了表格：
小明試著補(bǔ)全表格
“是這樣嗎？”小明問(wèn)小紅。
小紅拿過(guò)來(lái)看了看，說(shuō)：“最后一行寫(xiě)錯(cuò)了，輸出結(jié)果應(yīng)該是1。你想啊，1+1+1應(yīng)該等于11，左邊這一位是輸出進(jìn)位，右邊這一位是輸出結(jié)果，都是1，所以輸出結(jié)果應(yīng)該是1。”
“噢。”小明又拿過(guò)書(shū)來(lái)，拿起橡皮鉛筆改正：
小明改好了
“那為什么這個(gè)機(jī)器能算加法？我還是不懂。”小明問(wèn)。
“假設(shè)我們已經(jīng)造出來(lái)了這么個(gè)機(jī)器，長(zhǎng)這樣”小紅繼續(xù)在封底上畫(huà)著：
小紅畫(huà)的機(jī)器
“等會(huì)等會(huì)，怎么變成英文了，我英語(yǔ)不好。”小明叫道。
“hmmm看來(lái)你沒(méi)讀雙語(yǔ)幼兒園。左邊這三個(gè)是輸入，右邊是輸出，C是進(jìn)位，C-in是輸入進(jìn)位，C-out是輸出進(jìn)位，Sum是和的意思，明白了么？”小紅解釋道。
“噢好。”
“假設(shè)我們已經(jīng)造出來(lái)了這么個(gè)機(jī)器，造了好幾個(gè)，我們這么連起來(lái)...誒紙不夠大，我寫(xiě)不下了。”
小明一聽(tīng)，趕緊從書(shū)桌膛里翻出來(lái)一本草稿紙，生怕同桌變成費(fèi)馬。
“謝謝。先這么連起來(lái)：”
小紅畫(huà)圖中
“哦哦哦我懂了，A和B就是兩只手，最右邊這個(gè)one-bit-adder計(jì)算的是最小位數(shù)的和！”小明說(shuō)道。
“正確！”
“你這樣連的話，是說(shuō)最小位的輸出進(jìn)位就是下一位的輸入進(jìn)位，下一位的輸出又是下下一位的輸入！天啊，這跟列豎式好像。”小明驚叫。
“Absolutely!”小紅回答道。
小明又拿過(guò)草稿紙，接著畫(huà)起來(lái)：
小明畫(huà)圖中
“把對(duì)應(yīng)的每一位連到每一個(gè)adder里...”小明念念有詞，“...再匯總一下輸出”：
小明畫(huà)的加法器
“成了！這個(gè)東西可以算兩只手加法的結(jié)果！”小明高興極了。
“可是離6324和244675還是太遠(yuǎn)了，輸入5位遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠呀。”小紅皺了皺眉頭。
“不不不！你在掰手指的時(shí)候有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，每多一根指頭，能表示的數(shù)就會(huì)多出來(lái)一大堆，我覺(jué)得只要加那么十幾個(gè)就夠了！1根指頭能表示2個(gè)數(shù)（0，1），2根指頭四個(gè)數(shù)（0，1，2，3），3根8個(gè)...”
“是2的倍數(shù)！”小紅接道，“小明，我覺(jué)得你的這個(gè)記數(shù)方法很有意思，要不叫小明式吧！”小紅凝望小明的目光中有了一絲羞澀。
“二進(jìn)制。”
身后忽然傳來(lái)低沉的聲音。兩人同時(shí)回頭，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)課代表小剛正直勾勾地盯著那張草稿紙。他好像已聆聽(tīng)多時(shí)了。
“叫二進(jìn)制吧，我看藍(lán)貓?zhí)詺馊?wèn)講過(guò)這個(gè)，一模一樣，藍(lán)貓說(shuō)這是二進(jìn)制。”小剛補(bǔ)充道。
小剛的數(shù)學(xué)成績(jī)是班里最好的，一進(jìn)學(xué)而思就上的超常班。小紅只能上尖子班，小明一般去網(wǎng)吧。
“那就叫二進(jìn)制吧。”小明說(shuō)。
他和小紅轉(zhuǎn)過(guò)身來(lái)，老師讓小組討論的時(shí)候他們就這么坐。
小剛又道：“可是，怎么造出這個(gè)one-bit-adder呢？”他的眉頭皺成一團(tuán)，眼鏡片看起來(lái)更厚了。
小明和小紅也陷入了沉默，三人一籌莫展，陷入僵局。這時(shí)，小剛的同桌，物理課代表小蘭入局。
她忽然說(shuō)道：“我聽(tīng)物理辦公室的陳老師吹牛，他當(dāng)年在大學(xué)里讀電子工程，GPA一直是4.3，用實(shí)驗(yàn)室的導(dǎo)線開(kāi)關(guān)和小燈泡就能造一個(gè)32位的加法器，不知道是怎么做到的。他還說(shuō)什么與門(mén)是and，或門(mén)是or，再加一個(gè)非門(mén)not，用它們表示邏輯，就能造出世間千千萬(wàn)萬(wàn)的計(jì)算機(jī)。”
小明聽(tīng)迷糊了，“等會(huì)等會(huì)，什么門(mén)？金拱門(mén)？”另兩人也露出迷茫的表情。
小蘭從桌子里掏出一個(gè)黑盒子。“這是下節(jié)課要用的教具，陳老師讓我先拿著。”
她打開(kāi)盒子，取出三個(gè)零件和一個(gè)說(shuō)明書(shū)。
“喏，你們看看這個(gè)”，她拿起第一個(gè)零件，“這個(gè)叫與門(mén)，有兩個(gè)輸入和一個(gè)輸出。如果我們把輸出連上小燈泡，接上電源，兩個(gè)輸入分別連上開(kāi)關(guān)，那么是這么個(gè)情況：”
小蘭畫(huà)的表格
“就是說(shuō)，只有兩個(gè)開(kāi)關(guān)都閉合了，小燈泡才亮，有點(diǎn)像串聯(lián)電路。”小蘭補(bǔ)充道。
“誒，有意思了...”小剛扶了扶眼鏡，似乎打算說(shuō)什么，大家都看向他。
“沒(méi)，沒(méi)什么，我還在想，小蘭你接著說(shuō)。”
“那好。”小蘭接著拿起第二塊零件。“這個(gè)叫或門(mén)，有一個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)著燈泡就會(huì)亮...”
“等下！”小剛忽然打斷，拿起筆在自己的白紙上畫(huà)起來(lái)：
小剛畫(huà)的表格
“是不是這樣！”小剛激動(dòng)地說(shuō)，“如果0是關(guān)1是開(kāi)，0是滅1是亮的話，或門(mén)的輸入輸出是不是這樣？”
小蘭看了看道：“正是”。
她拿起第三個(gè)零件，“最后這個(gè)叫非門(mén)，只有一個(gè)輸入，一個(gè)輸出。它會(huì)輸出一個(gè)相反的結(jié)果：輸入有電流，輸出就沒(méi)有；輸入沒(méi)有電流，輸出就有電流。用小剛的話來(lái)說(shuō)，輸入0輸出則為1，輸入1輸出則為0。太簡(jiǎn)單了，懶得畫(huà)表了。”
小蘭把非門(mén)放在桌上。小剛說(shuō)道：“這三個(gè)門(mén)可以表示三種邏輯。如果A、B是輸入， A or B 就是經(jīng)過(guò)或門(mén)的結(jié)果， A and B就是經(jīng)過(guò)與門(mén)的結(jié)果， not A 則是A經(jīng)過(guò)非門(mén)的結(jié)果。”
三人紛紛點(diǎn)頭。“可是，這和加法有什么關(guān)系呢？”小明問(wèn)道。
四人再度陷入沉默。
沉默。
忽然，小明拿起筆，一邊畫(huà)一邊說(shuō)道：“如果我們回去看小紅畫(huà)的表格，”
左三列是輸入，右二列是輸出
“Sum可以寫(xiě)成A、B、Cin的邏輯關(guān)系！”
“你們看，把 A and B 記作 AB，A or B 記作 A + B，not A 記作 A 上面畫(huà)個(gè)橫線。Sum 輸出為1只出現(xiàn)在表格的2、3、5、8行，也就是三個(gè)輸入中1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的時(shí)候。我們把這4種情況記下來(lái)，那么這個(gè)式子...”
“可以拿邏輯門(mén)實(shí)現(xiàn)?。?！”四人異口同聲的叫道。
小紅搶過(guò)草稿紙，又看了看物理教具的說(shuō)明書(shū)，邊畫(huà)邊說(shuō)了起來(lái)：“說(shuō)明書(shū)上寫(xiě)，這個(gè)火車(chē)頭形狀的符號(hào)表示 and gate；這個(gè)B2轟炸機(jī)形狀的是or gate；這個(gè)小人形狀的是not gate...”
小紅畫(huà)的與門(mén)，或門(mén)，非門(mén)
她又看了一眼小明的式子，說(shuō)道：“這個(gè)式子的第一項(xiàng)可以這樣...”
小紅畫(huà)的輸出和的第一項(xiàng)
"你們看你們看，這個(gè)不就是
嘛！"小紅自豪地說(shuō)。
小明補(bǔ)全了電路：
“先把與門(mén)都畫(huà)了”
“再把或門(mén)都加上，搞定。這東西可以算出Sum了，接下來(lái)用一樣的辦法把C-out弄出來(lái)。”小明準(zhǔn)備繼續(xù)畫(huà)。
“你們看，這里還有幾個(gè)零件。”小蘭指著說(shuō)明書(shū)說(shuō)道：
與非，或非，異或，同或
“與非門(mén)：一個(gè)與門(mén)的輸出和一個(gè)非門(mén)相連，英文是not and，NAND gate。那個(gè)小圈圈代表一個(gè)非門(mén)。
或非門(mén)是或門(mén) + 非門(mén)，not or，NOR gate。
第三個(gè)叫異或門(mén)，只有兩個(gè)輸入中一個(gè)為1一個(gè)不為1時(shí)，才會(huì)輸出1，exclusive-or，XOR gate。
第四個(gè)是同或門(mén)，也就是一個(gè)異或門(mén)加上一個(gè)非門(mén)。”
“啊哈！”小剛靈機(jī)一動(dòng)，抓起筆來(lái)道：“我有一個(gè)絕妙的點(diǎn)子。”
小剛簡(jiǎn)化后的電路
“小明的方案，要用17個(gè)門(mén)。我只要2個(gè)異或門(mén)就搞定了，牛逼吧？”
三人瞪大了眼睛，仔細(xì)思考后紛紛點(diǎn)頭道：“牛逼，牛逼。”
小剛隨即畫(huà)出了完整的one-bit-adder電路：
小剛的one-bit-adder
小明從教具盒里拿出電源、小燈泡、開(kāi)關(guān)和邏輯門(mén)，按照設(shè)計(jì)圖制作出了全加器：
看到小剛的設(shè)計(jì)被完整的實(shí)現(xiàn)，小明欣喜：“啊哈哈哈，吾有上將小剛，則霸業(yè)可成，漢室可興??！”
他把黑盒子里的零件全拿了出來(lái)，四人忙碌地工作著。很快，他們擁有了5個(gè)全加器，基于小紅的設(shè)計(jì)連了起來(lái)：
小紅設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)
“二進(jìn)制的01100等于十進(jìn)制的12，01010等于10，12+10=22，等于16+4+2，也就是二進(jìn)制的10110...”
四人人往代表輸出結(jié)果的5個(gè)小燈泡望去：亮，滅，亮，亮，滅；正是10110！
“成了?。?！”
大家激動(dòng)的拍打課桌為了計(jì)算黑板上那道題，四人一共制作了32個(gè)一位全加器，將它們連接后，一個(gè)三十二位加法器便誕生了。
他們歷經(jīng)艱辛，踩著自然規(guī)律和人類(lèi)智慧的肩膀，把自己從枯燥的加法計(jì)算中解放出來(lái)！
窗外的蟬鳴漸漸平息，頭頂?shù)牡跎炔辉俎D(zhuǎn)動(dòng)。
“劉老師，答案是250999！”小明站了起來(lái)，聲若洪鐘大呂，震懾天地。
他和小紅、小剛、小蘭分別對(duì)視了一眼，收獲了堅(jiān)定的目光。
這目光，連同面前的32位加法器，如同新的轉(zhuǎn)機(jī)和閃閃星斗，正在綴滿沒(méi)有遮攔的天空。
劉老師點(diǎn)了點(diǎn)頭，欣慰的說(shuō)道：“很好，看來(lái)四位同學(xué)對(duì)這部分知識(shí)掌握的不錯(cuò)！我們?cè)賮?lái)看幾道題！”
他轉(zhuǎn)過(guò)身，拿起板擦，把黑板擦了個(gè)精光，又從黑板槽里拾起半截粉筆，寫(xiě)了起來(lái)：
1. 244675 - 6324 = ？
2. 3.14159 + 5.535897 = ？
3. 17 * 45 = ？
4. 3 / 2 = ？
一連四道題，讓四人組陷入了深思：如何讓自己的機(jī)器運(yùn)算減法？乘法？除法？浮點(diǎn)數(shù)？
劉老師并沒(méi)有停下，手中的粉筆運(yùn)動(dòng)得越來(lái)越快：
5. Fibonacci 數(shù)列的第103項(xiàng)？
6. 一圈共有N個(gè)人，開(kāi)始報(bào)數(shù)，報(bào)到M的人出列，然后重新開(kāi)始報(bào)數(shù)，問(wèn)最后出列的人是誰(shuí)？.
.....
疑惑越來(lái)越多了：如何存儲(chǔ)？怎樣實(shí)現(xiàn)分支？保證效率？
劉老師仍未停下，黑板快被寫(xiě)滿了：
103. 方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上嗎？
104. 大于2的偶數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和嗎？
......
134. 生命，宇宙及所有事物的答案？
劉老師放下了粉筆，半截粉筆已經(jīng)變成硬幣的厚度。
“這些問(wèn)題，我們能造個(gè)機(jī)器回答么？”小明撐著頭，喃喃自語(yǔ)。
作者：柳兩叢
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