反向傳播是訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最常用方法之一。Rumelhart、Hinton和Williams（1986）引入了反向傳播，該方法到今天仍然很流行。程序員經(jīng)常使用反向傳播訓(xùn)練深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，因?yàn)樵趫D形處理單元上運(yùn)行時(shí)，它的伸縮性很好。要了解這種用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的算法，我們必須探討如何訓(xùn)練它，以及它如何處理模式。

經(jīng)典的反向傳播已得到擴(kuò)展和修改，產(chǎn)生了許多不同的訓(xùn)練算法。本章中將討論神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最常用的訓(xùn)練算法。我們從經(jīng)典的反向傳播開(kāi)始，然后以隨機(jī)梯度下降結(jié)束本章。

6.1　理解梯度

反向傳播是梯度下降的一種，許多教科書中通常互換使用這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)。梯度下降是指針對(duì)每個(gè)訓(xùn)練元素，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)權(quán)重上計(jì)算一個(gè)梯度。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不會(huì)輸出訓(xùn)練元素的期望值，因此每個(gè)權(quán)重的梯度將為你提示如何修改權(quán)重以實(shí)現(xiàn)期望輸出。如果神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)確實(shí)輸出了預(yù)期的結(jié)果，則每個(gè)權(quán)重的梯度將為0，這表明無(wú)需修改權(quán)重。

梯度是權(quán)重當(dāng)前值下誤差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。誤差函數(shù)用于測(cè)量神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出與預(yù)期輸出的差距。實(shí)際上，我們可以使用梯度下降，在該過(guò)程中，每個(gè)權(quán)重的梯度可以讓誤差函數(shù)達(dá)到更低值。

梯度實(shí)質(zhì)上是誤差函數(shù)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)權(quán)重的偏導(dǎo)數(shù)。每個(gè)權(quán)重都有一個(gè)梯度，即誤差函數(shù)的斜率。權(quán)重是兩個(gè)神經(jīng)元之間的連接。計(jì)算誤差函數(shù)的梯度可以確定訓(xùn)練算法應(yīng)增加，還是減小權(quán)重。反過(guò)來(lái)，這種確定將減小神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差。誤差是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)期輸出和實(shí)際輸出之間的差異。許多不同的名為“傳播訓(xùn)練算法”的訓(xùn)練算法都利用了梯度。總的來(lái)說(shuō)，梯度告訴神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以下信息：

• 零梯度——權(quán)重不會(huì)導(dǎo)致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差；
• 負(fù)梯度——應(yīng)該增加權(quán)重以減小誤差；
• 正梯度——應(yīng)當(dāng)減小權(quán)重以減小誤差。

由于許多算法都依賴于梯度計(jì)算，因此我們從分析這個(gè)過(guò)程開(kāi)始。

　6.1.1　什么是梯度

首先，讓我們探討一下梯度。本質(zhì)上，訓(xùn)練是對(duì)權(quán)重集的搜索，這將使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于訓(xùn)練集具有最小的誤差。如果我們擁有無(wú)限的計(jì)算資源，那么只需嘗試各種可能的權(quán)重組合，來(lái)確定在訓(xùn)練期間提供最小誤差的權(quán)重。

因?yàn)槲覀儧](méi)有無(wú)限的計(jì)算資源，所以必須使用某種快捷方式，以避免需要檢查每種可能的權(quán)重組合。這些訓(xùn)練算法利用了巧妙的技術(shù)，從而避免對(duì)所有權(quán)重進(jìn)行蠻力搜索。但這種類型的窮舉搜索將是不可能的，因?yàn)榧词剐⌒途W(wǎng)絡(luò)也具有無(wú)限數(shù)量的權(quán)重組合。

請(qǐng)考慮一幅圖像，它展示每個(gè)可能權(quán)重的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差。圖6-1展示了單個(gè)權(quán)重的誤差。

 

圖6-1　單個(gè)權(quán)重的誤差

從圖6-1中很容易看到，最佳權(quán)重是曲線的

 

(

 

)值最低的位置。問(wèn)題是我們只看到當(dāng)前權(quán)重的誤差；我們看不到整幅圖像，因?yàn)樵撨^(guò)程需要窮盡的搜索。但是，我們可以確定特定權(quán)重下誤差曲線的斜率。在圖6-1中，我們看到誤差曲線在

 

=1.5處的斜率。與誤差曲線相切（在

 

=1.5處）的直線給出了斜率。在這個(gè)例子中，斜率或梯度為−0.562 2。負(fù)斜率表示增大權(quán)重會(huì)降低誤差。

梯度是指在特定權(quán)重下誤差函數(shù)的瞬時(shí)斜率。誤差曲線在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)給出了梯度。這條線的傾斜程度告訴我們特定權(quán)重下誤差函數(shù)的陡峭程度。

導(dǎo)數(shù)是微積分中最基本的概念之一。對(duì)于本書，你只需要了解導(dǎo)數(shù)在特定點(diǎn)處提供函數(shù)的斜率即可。訓(xùn)練技巧和該斜率可以為你提供信息，用于調(diào)整權(quán)重，從而降低誤差。現(xiàn)在，利用梯度的實(shí)用定義，我們將展示如何計(jì)算它。

　6.1.2　計(jì)算梯度

我們將為每個(gè)權(quán)重單獨(dú)計(jì)算一個(gè)梯度。我們不僅關(guān)注方程，也關(guān)注梯度在具有真實(shí)數(shù)值的實(shí)際神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用。圖6-2展示了我們將使用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——XOR神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

 

圖6-2　XOR神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

此外，本書線上資源（見(jiàn)引言）的幾個(gè)示例中使用了相同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。在本章中，我們將展示一些計(jì)算，說(shuō)明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練。我們必須使用相同的起始權(quán)重，讓這些計(jì)算保持一致。但是，上述權(quán)重沒(méi)有什么特征，是由該程序隨機(jī)生成的。

前面提到的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是典型的三層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，就像我們之前研究的那樣，圓圈表示神經(jīng)元，連接圓圈的線表示權(quán)重，連接線中間的矩形給出每個(gè)連接的權(quán)重。

我們現(xiàn)在面臨的問(wèn)題是，計(jì)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)權(quán)重的偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)一個(gè)方程具有多個(gè)變量時(shí)，我們使用偏導(dǎo)數(shù)。每個(gè)權(quán)重均被視為變量，因?yàn)檫@些權(quán)重將隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的變化而獨(dú)立變化。每個(gè)權(quán)重的偏導(dǎo)數(shù)僅顯示每個(gè)權(quán)重對(duì)誤差函數(shù)的獨(dú)立影響。該偏導(dǎo)數(shù)就是梯度。

可以用微積分的鏈?zhǔn)揭?guī)則來(lái)計(jì)算每個(gè)偏導(dǎo)數(shù)。我們從一個(gè)訓(xùn)練集元素開(kāi)始。對(duì)于圖6-2，我們提供[1,0]作為輸入，并期望輸出是1。你可以看到我們將輸入應(yīng)用于圖6-2。第一個(gè)輸入神經(jīng)元的輸入為1.0，第二個(gè)輸入神經(jīng)元的輸入為0.0。

該輸入通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)饋送，并最終產(chǎn)生輸出。第4章“前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”介紹了計(jì)算輸出與總和的確切過(guò)程。反向傳播既有前向，也有反向。計(jì)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出時(shí)，就會(huì)發(fā)生前向傳播。我們僅針對(duì)訓(xùn)練集中的這個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)計(jì)算梯度，訓(xùn)練集中的其他數(shù)據(jù)項(xiàng)將具有不同的梯度。在后文，我們將討論如何結(jié)合各個(gè)訓(xùn)練集元素的梯度。

現(xiàn)在我們準(zhǔn)備計(jì)算梯度。下面總結(jié)了計(jì)算每個(gè)權(quán)重的梯度的步驟：

• 根據(jù)訓(xùn)練集的理想值計(jì)算誤差；
• 計(jì)算輸出節(jié)點(diǎn)（神經(jīng)元）的增量；
• 計(jì)算內(nèi)部神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)的增量；
• 計(jì)算單個(gè)梯度。

我們將在隨后的內(nèi)容中討論這些步驟。

6.2　計(jì)算輸出節(jié)點(diǎn)增量

為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)（神經(jīng)元）計(jì)算一個(gè)常數(shù)值。我們將從輸出節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，然后逐步通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反向傳播。“反向傳播”一詞就來(lái)自這個(gè)過(guò)程。我們最初計(jì)算輸出神經(jīng)元的誤差，然后通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)向后傳播這些誤差。

節(jié)點(diǎn)增量是我們將為每個(gè)節(jié)點(diǎn)計(jì)算的值。層增量也描述了該值，因?yàn)槲覀兛梢砸淮斡?jì)算一層的增量。在計(jì)算輸出節(jié)點(diǎn)或內(nèi)部節(jié)點(diǎn)時(shí)，確定節(jié)點(diǎn)增量的方法可能會(huì)有所不同。首先計(jì)算輸出節(jié)點(diǎn)，并考慮神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差函數(shù)。在本書中，我們將研究二次誤差函數(shù)和交叉熵誤差函數(shù)。

　6.2.1　二次誤差函數(shù)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的程序員經(jīng)常使用二次誤差函數(shù)。實(shí)際上，你可以在網(wǎng)絡(luò)上找到許多使用二次誤差函數(shù)的示例。如果你正在閱讀一個(gè)示例程序，但未提及具體的誤差函數(shù)，那么該程序可能使用了二次誤差函數(shù)，也稱為MSE函數(shù)，我們?cè)诘?章“訓(xùn)練和評(píng)估”中討論過(guò)。公式6-1展示了MSE函數(shù)：

 

（6-1）

公式6-1將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出（

 

）與預(yù)期輸出（

 

）進(jìn)行了比較。變量

 

為訓(xùn)練元素的數(shù)量乘以輸出神經(jīng)元的數(shù)量。MSE將多個(gè)輸出神經(jīng)元處理為單個(gè)輸出神經(jīng)元的情況。公式6-2展示了使用二次誤差函數(shù)的節(jié)點(diǎn)增量：

 

（6-2）

二次誤差函數(shù)非常簡(jiǎn)單，因?yàn)樗×松窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)期輸出與實(shí)際輸出之間的差。

 

′表示激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

　6.2.2　交叉熵誤差函數(shù)

二次誤差函數(shù)有時(shí)可能需要很長(zhǎng)時(shí)間才能正確調(diào)整權(quán)重。公式6-3展示了交叉熵誤差（Cross-entropy Error，CE）函數(shù)：

 

（6-3）

如公式6-4所示，采用交叉熵誤差函數(shù)的節(jié)點(diǎn)增量計(jì)算要比采用MSE函數(shù)簡(jiǎn)單得多。

 

（6-4）

交叉熵誤差函數(shù)通常會(huì)比二次誤差函數(shù)結(jié)果更好，因?yàn)槎握`差函數(shù)會(huì)為誤差創(chuàng)建一個(gè)陡峭的梯度。我們推薦采用交叉熵誤差函數(shù)。

6.3　計(jì)算剩余節(jié)點(diǎn)增量

既然已經(jīng)根據(jù)適當(dāng)?shù)恼`差函數(shù)計(jì)算了輸出節(jié)點(diǎn)的增量，我們就可以計(jì)算內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的增量，如公式6-5所示：

 

（6-5）

我們將為所有隱藏和無(wú)偏置神經(jīng)元計(jì)算節(jié)點(diǎn)增量，但無(wú)須為輸入和偏置神經(jīng)元計(jì)算節(jié)點(diǎn)增量。即使我們可以使用公式6-5輕松計(jì)算輸入和偏置神經(jīng)元的節(jié)點(diǎn)增量，梯度計(jì)算也不需要這些值。你很快會(huì)看到，權(quán)重的梯度計(jì)算僅考慮權(quán)重所連接的神經(jīng)元。偏置和輸入神經(jīng)元只是連接的起點(diǎn)，它們從來(lái)不是終點(diǎn)。

如果你希望看到梯度計(jì)算過(guò)程，有幾個(gè)JAVAScript示例顯示了這些計(jì)算過(guò)程。這些示例可以在以下URL中找到：

http://www.heatonresearch.com/aifh/vol3/

6.4　激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

反向傳播過(guò)程需要激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它們通常確定反向傳播過(guò)程將如何執(zhí)行。大多數(shù)現(xiàn)代深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)都使用線性、Softmax和ReLU激活函數(shù)。我們還會(huì)探討S型和雙曲正切激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以便理解ReLU激活函數(shù)為何表現(xiàn)如此出色。

　6.4.1　線性激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

線性激活函數(shù)被認(rèn)為不是激活函數(shù)，因?yàn)樗皇欠祷亟o定的任何值。因此，線性激活函數(shù)有時(shí)稱為一致激活函數(shù)。該激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為1，如公式6-6所示：

 

（6-6）

如前文所述，希臘字母

 

表示激活函數(shù)，在

 

右上方的撇號(hào)表示我們正在使用激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。這是導(dǎo)數(shù)的幾種數(shù)學(xué)表示形式之一。

　6.4.2　Softmax激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

在本書中，Softmax激活函數(shù)和線性激活函數(shù)僅在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層上使用。如第1章“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)”所述，Softmax激活函數(shù)與其他激活函數(shù)的不同之處在于，其值還取決于其他輸出神經(jīng)元，而不僅僅取決于當(dāng)前正在計(jì)算的輸出神經(jīng)元。方便起見(jiàn)，公式6-7再次展示了Softmax激活函數(shù)：

 

（6-7）

 

向量代表所有輸出神經(jīng)元的輸出。公式6-8展示了該激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

 

（6-8）

對(duì)于上述導(dǎo)數(shù)，我們使用了稍微不同的符號(hào)。帶有草書風(fēng)格的∂符號(hào)的比率表示偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)你對(duì)具有多個(gè)變量的方程進(jìn)行微分時(shí)會(huì)使用這個(gè)符號(hào)。要取偏導(dǎo)數(shù)，可以將方程對(duì)一個(gè)變量微分，而將所有其他變量保持不變。上部的∂指出要微分的函數(shù)。在這個(gè)例子中，要微分的函數(shù)是激活函數(shù)

 

。下部的∂表示偏導(dǎo)數(shù)的分別微分。在這個(gè)例子中，我們正在計(jì)算神經(jīng)元的輸出，所有其他變量均視為常量。微分是瞬時(shí)變化率：一次只有一個(gè)變量能變化。

如果使用交叉熵誤差函數(shù)，就不會(huì)使用線性或Softmax激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)計(jì)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的梯度。通常你只在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層使用線性和Softmax激活函數(shù)。因此，我們無(wú)須擔(dān)心它們對(duì)于內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。對(duì)于使用交叉熵誤差函數(shù)的輸出節(jié)點(diǎn)，線性和Softmax激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)始終為1。因此，你幾乎不會(huì)對(duì)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)使用線性或Softmax激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

　6.4.3　S型激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

公式6-9展示了S型激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

 

（6-9）

機(jī)器學(xué)習(xí)經(jīng)常利用公式6-9中表示的S型激活函數(shù)。我們通過(guò)對(duì)S型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算來(lái)導(dǎo)出該公式，以便在其自身的導(dǎo)數(shù)計(jì)算中使用S型激活函數(shù)。為了提高計(jì)算效率，上述激活函數(shù)中的希臘字母

 

表示S型激活函數(shù)。在前饋過(guò)程中，我們計(jì)算了S型激活函數(shù)的值。保留S型激活函數(shù)的值使S型激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)易于計(jì)算。如果你對(duì)如何得到公式6-9感興趣，可以參考以下網(wǎng)址：

http://www.heatonresearch.com/aifh/vol3/deriv_sigmoid.html

　6.4.4　雙曲正切激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

公式6-10給出了雙曲正切激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

 

（6-10）

在本書中，我們建議使用雙曲正切激活函數(shù)，而不是S型激活函數(shù)。

　6.4.5　ReLU激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

公式6-11展示了ReLU激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

 

（6-11）

嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，ReLU激活函數(shù)在0處沒(méi)有導(dǎo)數(shù)，但是，由于約定，當(dāng)

 

為0時(shí)，0處的梯度被替換。具有S型和雙曲正切激活函數(shù)的深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可能難以通過(guò)反向傳播進(jìn)行訓(xùn)練。造成這一困難的因素很多，梯度消失問(wèn)題是最常見(jiàn)的原因之一。圖6-3展示了雙曲正切激活函數(shù)及其梯度/導(dǎo)數(shù)。

 

圖6-3　雙曲正切激活函數(shù)及其梯度/導(dǎo)數(shù)

圖6-3表明，當(dāng)雙曲正切激活函數(shù)（實(shí)線）接近−1和1時(shí)，雙曲正切激活（虛線）的導(dǎo)數(shù)消失為0。S型和雙曲正切激活函數(shù)都有這個(gè)問(wèn)題，但ReLU激活函數(shù)沒(méi)有。圖6-4展示了S型激活函數(shù)及其消失的導(dǎo)數(shù)。

 

圖6-4　S型激活函數(shù)及其消失的導(dǎo)數(shù)

6.5　應(yīng)用反向傳播

反向傳播是一種簡(jiǎn)單的訓(xùn)練算法，可以利用計(jì)算出的梯度來(lái)調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重。該方法是梯度下降的一種形式，因?yàn)槲覀儗⑻荻冉档捷^低的值。隨著程序調(diào)整這些權(quán)重，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將產(chǎn)生更理想的輸出。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的整體誤差應(yīng)隨著訓(xùn)練而下降。在探討反向傳播權(quán)重的更新過(guò)程之前，我們必須先探討更新權(quán)重的兩種不同方式。

　6.5.1　批量訓(xùn)練和在線訓(xùn)練

我們已經(jīng)展示了如何為單個(gè)訓(xùn)練集元素計(jì)算梯度。在本章的前面，我們對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入[1,0]并期望輸出1的情況計(jì)算了梯度。對(duì)于單個(gè)訓(xùn)練集元素，這個(gè)結(jié)果是可以接受的，但是，大多數(shù)訓(xùn)練集都有很多元素。因此，我們可以通過(guò)兩種方式來(lái)處理多個(gè)訓(xùn)練集元素，即在線訓(xùn)練和批量訓(xùn)練。

在線訓(xùn)練意味著你需要在每個(gè)訓(xùn)練集元素之后修改權(quán)重。利用在第一個(gè)訓(xùn)練集元素中獲得的梯度，你可以計(jì)算權(quán)重并對(duì)它們進(jìn)行更改。訓(xùn)練進(jìn)行到下一個(gè)訓(xùn)練集元素時(shí)，也會(huì)計(jì)算并更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。訓(xùn)練將繼續(xù)進(jìn)行，直到你用完每個(gè)訓(xùn)練集元素為止。至此，訓(xùn)練的一個(gè)迭代或一輪（epoch）已經(jīng)完成。

批量訓(xùn)練也利用了所有訓(xùn)練集元素，但是，我們不著急更新所有權(quán)重。作為替代，我們對(duì)每個(gè)訓(xùn)練集元素的梯度求和。一旦我們完成了對(duì)訓(xùn)練集元素梯度的求和，就可以更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重。至此，迭代完成。

有時(shí)，我們可以設(shè)置批量的大小。如你的訓(xùn)練集可能有10 000個(gè)元素，此時(shí)可選擇每1 000個(gè)元素更新一次神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重，從而使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重在訓(xùn)練迭代期間更新10次。

在線訓(xùn)練是反向傳播的最初方式。如果要查看該程序批處理版本的計(jì)算，請(qǐng)參考以下在線示例：

http://www.heatonresearch.com/aifh/vol3/xor_batch.html

　6.5.2　隨機(jī)梯度下降

批量訓(xùn)練和在線訓(xùn)練不是反向傳播的僅有選擇。隨機(jī)梯度下降（SGD）是反向傳播算法中最受歡迎的算法。SGD可以用批量或在線訓(xùn)練模式工作。在線SGD簡(jiǎn)單地隨機(jī)選擇訓(xùn)練集元素，然后計(jì)算梯度并執(zhí)行權(quán)重更新。該過(guò)程一直持續(xù)到誤差達(dá)到可接受的水平為止。與每次迭代遍歷整個(gè)訓(xùn)練集相比，選擇隨機(jī)訓(xùn)練集元素通常會(huì)更快收斂到可接受的權(quán)重。

批量SGD可通過(guò)選擇批量大小來(lái)實(shí)現(xiàn)。對(duì)于每次迭代，隨機(jī)選擇數(shù)量不應(yīng)超過(guò)所選批量大小的訓(xùn)練集元素，因此選擇小批量。更新時(shí)像常規(guī)反向傳播批量處理更新一樣，將小批量處理中的梯度相加。這種更新與常規(guī)批量處理更新非常相似，不同之處在于，每次需要批量時(shí)都會(huì)隨機(jī)選擇小批量。迭代通常以SGD處理單個(gè)批量。批量大小通常比整個(gè)訓(xùn)練集小得多。批量大小的常見(jiàn)選擇是600。

　6.5.3　反向傳播權(quán)重更新

現(xiàn)在，我們準(zhǔn)備更新權(quán)重。如前所述，我們將權(quán)重和梯度視為一維數(shù)組。給定這兩個(gè)數(shù)組，我們準(zhǔn)備為反向傳播訓(xùn)練的迭代計(jì)算權(quán)重更新。公式6-12給出了為反向傳播更新權(quán)重的公式：

 

（6-12）

公式6-12計(jì)算權(quán)重?cái)?shù)組中每個(gè)元素的權(quán)重變化。你也會(huì)注意到，公式6-12要求對(duì)來(lái)自上一次迭代的權(quán)重進(jìn)行改變。你必須將這些值保存在另一個(gè)數(shù)組中。如前所述，權(quán)重更新的方向與梯度的符號(hào)相反：正梯度會(huì)導(dǎo)致權(quán)重減小，反之負(fù)梯度會(huì)導(dǎo)致權(quán)重增大。由于這種相反關(guān)系，公式6-12以負(fù)號(hào)開(kāi)始。

公式6-12將權(quán)重增量計(jì)算為梯度與學(xué)習(xí)率（以ε表示）的乘積。此外，我們將之前的權(quán)重變化與動(dòng)量值（以α表示）的乘積相加。學(xué)習(xí)率和動(dòng)量是我們必須提供給反向傳播算法的兩個(gè)參數(shù)。選擇學(xué)習(xí)率和動(dòng)量的值對(duì)訓(xùn)練的表現(xiàn)非常重要。不幸的是，確定學(xué)習(xí)率和動(dòng)量主要是通過(guò)反復(fù)試驗(yàn)實(shí)現(xiàn)的。

學(xué)習(xí)率對(duì)梯度進(jìn)行縮放，可能減慢或加快學(xué)習(xí)速度。低于1.0的學(xué)習(xí)率會(huì)減慢學(xué)習(xí)速度。如學(xué)習(xí)率為0.5會(huì)使每個(gè)梯度減少50%；高于1.0的學(xué)習(xí)率將加速訓(xùn)練。實(shí)際上，學(xué)習(xí)率幾乎總是低于1。

選擇過(guò)高的學(xué)習(xí)率會(huì)導(dǎo)致你的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無(wú)法收斂，并且會(huì)產(chǎn)生較高的全局誤差，而不會(huì)收斂到較低值。選擇過(guò)低的學(xué)習(xí)率將導(dǎo)致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)花費(fèi)大量時(shí)間實(shí)現(xiàn)收斂。

和學(xué)習(xí)率一樣，動(dòng)量也是一個(gè)縮放因子。盡管是可選的，但動(dòng)量確定了上一次迭代的權(quán)重變化中有百分之多少應(yīng)該應(yīng)用于這次迭代。如果你不想使用動(dòng)量，只需將它的值指定為0。

動(dòng)量是用于反向傳播的一項(xiàng)技術(shù)，可幫助訓(xùn)練逃避局部最小值，這些最小值是誤差圖上的低點(diǎn)所標(biāo)識(shí)的值，而不是真正的全局最小值。反向傳播傾向于找到局部最小值，而不能再次跳出來(lái)。這個(gè)過(guò)程導(dǎo)致訓(xùn)練收斂誤差較高，這不是我們期望的。動(dòng)量可在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)當(dāng)前變化的方向上對(duì)它施加一些力，讓它突破局部最小值。

　6.5.4　選擇學(xué)習(xí)率和動(dòng)量

動(dòng)量和學(xué)習(xí)率有助于訓(xùn)練的成功，但實(shí)際上它們并不是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一部分。一旦訓(xùn)練完成，訓(xùn)練后的權(quán)重將保持不變，不再使用動(dòng)量或?qū)W習(xí)率。它們本質(zhì)上是一種臨時(shí)的“腳手架”，用于創(chuàng)建訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。選擇正確的動(dòng)量和學(xué)習(xí)率會(huì)影響訓(xùn)練的效果。

學(xué)習(xí)率會(huì)影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的速度，降低學(xué)習(xí)率會(huì)使訓(xùn)練更加細(xì)致。較高的學(xué)習(xí)率可能會(huì)跳過(guò)最佳權(quán)重設(shè)置，較低的學(xué)習(xí)率總是會(huì)產(chǎn)生更好的結(jié)果，但是，降低訓(xùn)練速度會(huì)大大增加運(yùn)行時(shí)間。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中降低學(xué)習(xí)率可能是一種有效的技術(shù)。

你可以用動(dòng)量來(lái)對(duì)抗局部最小值。如果你發(fā)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)停滯不前，則較高的動(dòng)量值可能會(huì)使訓(xùn)練超出其遇到的局部最小值。歸根結(jié)底，為動(dòng)量和學(xué)習(xí)率選擇好的值是一個(gè)反復(fù)試驗(yàn)的過(guò)程。你可以根據(jù)訓(xùn)練的進(jìn)度進(jìn)行調(diào)整。動(dòng)量通常設(shè)置為0.9，學(xué)習(xí)率通常設(shè)置為0.1或更低。

　6.5.5　Nesterov動(dòng)量

由于小批量引入的隨機(jī)性，SGD算法有時(shí)可能產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果。權(quán)重可能會(huì)在一次迭代中獲得非常有益的更新，但是訓(xùn)練元素的選擇不當(dāng)會(huì)使其在下一個(gè)小批量中被撤銷。因此，動(dòng)量是一種資源豐富的工具，可以減輕這種不穩(wěn)定的訓(xùn)練結(jié)果。

Nesterov動(dòng)量是Yu Nesterov在1983年發(fā)明的一種較新的技術(shù)應(yīng)用，該技術(shù)在他的Introductory Lectures on Convex Optimization: A Basic Course一書中得到了更新[1]。有時(shí)將該技術(shù)稱為Nesterov的加速梯度下降。盡管對(duì)Nesterov動(dòng)量的完整數(shù)學(xué)解釋超出了本書的范圍，但我們將針對(duì)權(quán)重進(jìn)行詳細(xì)介紹，以便你可以實(shí)現(xiàn)它。本書的示例（包括在線JavaScript的示例）包含Nesterov動(dòng)量的實(shí)現(xiàn)。此外，本書的線上資源包含一些針對(duì)Nesterov動(dòng)量權(quán)重更新的JavaScript示例程序。

公式6-13基于學(xué)習(xí)率（ε）和動(dòng)量（α）計(jì)算部分權(quán)重更新：

 

（6-13）

當(dāng)前迭代用

 

表示，前一次迭代用

 

−1表示。這種部分權(quán)重更新稱為

 

，最初從0開(kāi)始。部分權(quán)重更新的后續(xù)計(jì)算基于部分權(quán)重更新的先前值。公式6-13中的偏導(dǎo)數(shù)是當(dāng)前權(quán)重下誤差函數(shù)的梯度。公式6-14展示了Nesterov動(dòng)量更新，它代替了公式6-12中展示的標(biāo)準(zhǔn)反向傳播權(quán)重更新：

 

（6-14）

上面的權(quán)重更新的計(jì)算，是部分權(quán)重更新的放大。公式6-14中顯示增量權(quán)重已添加到當(dāng)前權(quán)重中。具有Nesterov動(dòng)量的SGD是深度學(xué)習(xí)最有效的訓(xùn)練算法之一。

6.6　本章小結(jié)

本章介紹了經(jīng)典的反向傳播和SGD。這些方法都基于梯度下降。換言之，它們用導(dǎo)數(shù)優(yōu)化了單個(gè)權(quán)重。對(duì)于給定的權(quán)重，導(dǎo)數(shù)向程序提供誤差函數(shù)的斜率。斜率允許程序確定如何更新權(quán)重。每個(gè)訓(xùn)練算法對(duì)斜率或梯度的解釋不同。

盡管反向傳播是最古老的訓(xùn)練算法之一，但它仍然是最受歡迎的算法之一。反向傳播就是將梯度添加到權(quán)重中，負(fù)梯度將增大權(quán)重，正梯度將減小權(quán)重。我們通過(guò)學(xué)習(xí)率來(lái)縮放權(quán)重，防止權(quán)重變化過(guò)快。0.5的學(xué)習(xí)率意味著將權(quán)重增加一半的梯度，而2.0的學(xué)習(xí)率意味著將權(quán)重增加2倍的梯度。

反向傳播算法有多種變體，其中一些變體（如彈性傳播）頗受歡迎。第7章將介紹一些反向傳播的變體。盡管了解這些變體很有用，但是SGD仍然是最常見(jiàn)的深度學(xué)習(xí)訓(xùn)練算法之一。

本文摘自《人工智能算法（卷3）：深度學(xué)習(xí)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)》