前幾天我發表一片關于RSA的加密算法，很多人留言讓我講解一下ECC 橢圓加密算法。首先我在這里聲明一下 橢圓加密算法不像RSA 用中學的數學知識就可以解決。本文中也是參考了網上的很多資料，
橢圓曲線加密算法，即：Elliptic Curve Cryptography，簡稱ECC，是基于橢圓曲線數學理論實現的一種非對稱加密算法。相比RSA，ECC優勢是可以使用更短的密鑰，來實現與RSA相當或更高的安全。據研究，160位ECC加密安全性相當于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相當于2048位RSA加密。
橢圓曲線在密碼學中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分別獨立提出的。
橢圓曲線
一般情況下，橢圓曲線可用下列方程式來表示，其中a,b,c,d為系數。
例如，當a=1,b=0,c=-2,d=4時，所得到的橢圓曲線為:
該橢圓曲線E的圖像如圖X-1所示，可以看出根本就不是橢圓形。
定義橢圓曲線的運算規則
加法
過曲線上的兩點A、B畫一條直線，找到直線與橢圓曲線的交點，交點關于x軸對稱位置的點，定義為A+B，即為加法。如下圖所示：A + B = C
二倍運算
上述方法無法解釋A + A，即兩點重合的情況。因此在這種情況下，將橢圓曲線在A點的切線，與橢圓曲線的交點，交點關于x軸對稱位置的點，定義為A + A，即2A，即為二倍運算。
正負取反
將A關于x軸對稱位置的點定義為-A，即橢圓曲線的正負取反運算。如下圖所示：
無窮遠點
如果將A與-A相加，過A與-A的直線平行于y軸，可以認為直線與橢圓曲線相交于無窮遠點。
綜上，定義了A+B、2A運算，因此給定橢圓曲線的某一點G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。即：當給定G點時，已知x，求xG點并不困難。反之，已知xG點，求x則非常困難。此即為橢圓曲線加密算法背后的數學原理。
有限域上的橢圓曲線運算
橢圓曲線要形成一條光滑的曲線，要求x,y取值均為實數，即實數域上的橢圓曲線。但橢圓曲線加密算法，并非使用實數域，而是使用有限域。按數論定義，有限域GF(p)指給定某個質數p，由0、1、2......p-1共p個元素組成的整數集合中定義的加減乘除運算。
假設橢圓曲線為y² = x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上時，寫作： y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)
此時，橢圓曲線不再是一條光滑曲線，而是一些不連續的點，如下圖所示。以點(1,7)為例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此還有如下點：
(0,1) (0,22) (1,7) (1,16) (3,10) (3,13) (4,0) (5,4) (5,19) (6,4) (6,19) (7,11) (7,12) (9,7) (9,16) (11,3) (11,20) 等等。
另外，如果P(x,y)為橢圓曲線上的點，則-P即(x,-y)也為橢圓曲線上的點。如點P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也為橢圓曲線上的點。
計算xG
相關公式如下： 有限域GF(p)上的橢圓曲線y² = x³ + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，則R(Xr,Yr) = P+Q 由如下規則確定：
Xr = (λ² - Xp - Xq) mod p Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p 其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p（若P=Q）
因此，有限域GF(23)上的橢圓曲線y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)，假設以(0,1)為G點，計算2G、3G、4G...xG等等，方法如下：
計算2G： λ = (3x0² + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12 Xr = (12² - 0 - 0) mod 23 = 6 Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19 即2G為點(6,19)
計算3G： 3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19) λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3 Xr = (3² - 0 - 6) mod 23 = 3 Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13 即3G為點(3, 13)
橢圓曲線加解密算法原理
建立基于橢圓曲線的加密機制，需要找到類似RSA質因子分解或其他求離散對數這樣的難題。而橢圓曲線上的已知G和xG求x，是非常困難的，此即為橢圓曲線上的的離散對數問題。此處x即為私鑰，xG即為公鑰。
橢圓曲線加密算法原理如下：
設私鑰、公鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。
公鑰加密： 選擇隨機數r，將消息M生成密文C，該密文是一個點對，即： C = {rG, M+rK}，其中K為公鑰
私鑰解密： M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M 其中k、K分別為私鑰、公鑰。
橢圓曲線簽名算法原理
橢圓曲線簽名算法，即ECDSA。 設私鑰、公鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。
私鑰簽名： 1、選擇隨機數r，計算點rG(x, y)。 2、根據隨機數r、消息M的哈希h、私鑰k，計算s = (h + kx)/r。 3、將消息M、和簽名{rG, s}發給接收方。
公鑰驗證簽名： 1、接收方收到消息M、以及簽名{rG=(x,y), s}。 2、根據消息求哈希h。 3、使用發送方公鑰K計算：hG/s + xK/s，并與rG比較，如相等即驗簽成功。
原理如下： hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s = r(h+xk)G / (h+kx) = rG
簽名過程
假設要簽名的消息是一個字符串：“Hello World!”。DSA簽名的第一個步驟是對待簽名的消息生成一個消息摘要。不同的簽名算法使用不同的消息摘要算法。而ECDSA256使用SHA256生成256比特的摘要。
摘要生成結束后，應用簽名算法對摘要進行簽名：
產生一個隨機數k
利用隨機數k，計算出兩個大數r和s。將r和s拼在一起就構成了對消息摘要的簽名。
這里需要注意的是，因為隨機數k的存在，對于同一條消息，使用同一個算法，產生的簽名是不一樣的。從函數的角度來理解，簽名函數對同樣的輸入會產生不同的輸出。因為函數內部會將隨機值混入簽名的過程。
驗證過程
關于驗證過程，這里不討論它的算法細節。從宏觀上看，消息的接收方從簽名中分離出r和s，然后利用公開的密鑰信息和s計算出r。如果計算出的r和接收到的r值相同，則表示驗證成功。否則，表示驗證失敗。
這個是網上ecc 的demo
# -*- coding:utf-8 -*-
def get_inverse(value, p):
"""
求逆元
:param value: 待求逆元的值
:param p: 模數
"""
for i in range(1, p):
if (i * value) % p == 1:
return i
return -1
def get_gcd(value1, value2):
"""
輾轉相除法求最大公約數
:param value1:
:param value2:
"""
if value2 == 0:
return value1
else:
return get_gcd(value2, value1 % value2)
def get_PaddQ(x1, y1, x2, y2, a, p):
"""
計算P+Q
:param x1: P點橫坐標
:param y1: P點縱坐標
:param x2: Q點橫坐標
:param y2: Q點縱坐標
:param a: 曲線參數
:param p: 曲線模數
"""
flag = 1 # 定義符號位(+/-)
# 如果P=Q，斜率k=(3x^2+a)/2y mod p
if x1 == x2 and y1 == y2:
member = 3 * (x1 ** 2) + a # 分子
denominator = 2 * y1 # 分母
# 如果P≠Q， 斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) mod p
else:
member = y2 - y1
denominator = x2 - x1
if member * denominator < 0:
flag = 0 # 表示負數
member = abs(member)
denominator = abs(denominator)
# 化簡分子分母
gcd = get_gcd(member, denominator) # 最大公約數
member = member // gcd
denominator = denominator // gcd
# 求分母的逆元
inverse_deno = get_inverse(denominator, p)
# 求斜率
k = (member * inverse_deno)
if flag == 0:
k = -k
k = k % p
# 計算P+Q=(x3,y3)
x3 = (k ** 2 - x1 - x2) % p
y3 = (k * (x1-x3) -y1) % p
return x3, y3
def get_order(x0, y0, a, b, p):
"""
計算橢圓曲線的階
"""
x1 = x0 # -P的橫坐標
y1 = (-1 * y0) % p # -P的縱坐標
temp_x = x0
temp_y = y0
n = 1
while True:
n += 1
# 累加P,得到n*P=0∞
xp, yp = get_PaddQ(temp_x, temp_y, x0, y0, a, p)
# 如果(xp,yp)==-P，即(xp,yp)+P=0∞，此時n+1為階數
if xp == x1 and yp == y1:
return n+1
temp_x = xp
temp_y = yp
def get_dot(x0, a, b, p):
"""
計算P和-P
"""
y0 = -1
for i in range(p):
# 滿足適合加密的橢圓曲線條件，Ep(a,b)，p為質數，x,y∈[0,p-1]
if i**2 % p == (x0**3 + a*x0 + b) % p:
y0 = i
break
# 如果找不到合適的y0返回False
if y0 == -1:
return False
# 計算-y
x1 = x0
y1 = (-1*y0) % p
return x0, y0, x1, y1
def get_graph(a, b, p):
"""
畫出橢圓曲線散點圖
"""
xy = []
# 初始化二維數組
for i in range(p):
xy.Append(['-' for i in range(p)])
for i in range(p):
value = get_dot(i, a, b, p)
if (value != False):
x0,y0,x1,y1 = value
xy[x0][y0] = 1
xy[x1][y1] = 1
print('橢圓曲線散點圖：')
for i in range(p):
temp = p - 1 -i
if temp >= 10:
print(temp, end='')
else:
print(temp, end='')
# 輸出具體坐標值
for j in range(p):
print(xy[j][temp], end='')
print()
print(' ', end='')
for i in range(p):
if i >= 10:
print(i, end='')
else:
print(i, end='')
print()
def get_nG(xG, yG, priv_key, a, p):
"""
計算nG
"""
temp_x = xG
temp_y = yG
while priv_key != 1:
temp_x, temp_y = get_PaddQ(temp_x, temp_y, xG, yG, a, p)
priv_key -= 1
return temp_x, temp_y
def get_KEY():
"""
生成公鑰私鑰
"""
# 選擇曲線方程
while True:
a = int(input('輸入橢圓曲線參數a（a>0）的值：'))
b = int(input('輸入橢圓曲線參數b（b>0）的值：'))
p = int(input('輸入橢圓曲線參數p（p為素數）的值：'))
# 滿足曲線判別式
if (4*(a**3)+27*(b**2))%p == 0:
print('輸入的參數有誤，請重新輸入！n')
else:
break
# 輸出曲線散點圖
get_graph(a, b, p)
# 選擇基點G
print('在上圖坐標系中選擇基點G的坐標')
xG = int(input('橫坐標xG：'))
yG = int(input('縱坐標yG：'))
# 獲取曲線的階
n = get_order(xG, yG, a, b, p)
# 生成私鑰key，且key<n
priv_key = int(input('輸入私鑰key(<%d)：'%n))
#生成公鑰KEY
xK, yK = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p)
return xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yG
def encrypt(xG, yG, xK, yK,priv_key, a, p, n):
"""
加密
"""
k = int(input('輸入一個整數k(<%d)用于計算kG和kQ：' % n))
kGx, kGy = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p) # kG
kQx, kQy = get_nG(xK, yK, priv_key, a, p) # kQ
plain = input('輸入需要加密的字符串：')
plain = plain.strip()
c = []
print('密文為：', end='')
for char in plain:
intchar = ord(char)
cipher = intchar * kQx
c.append([kGx, kGy, cipher])
print('(%d,%d),%d' % (kGx, kGy, cipher), end=' ')
print()
return c
def decrypt(c, priv_key, a, p):
"""
解密
"""
for charArr in c:
kQx, kQy = get_nG(charArr[0], charArr[1], priv_key, a, p)
print(chr(charArr[2] // kQx), end='')
print()
if __name__ == '__main__':
xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yG = get_KEY()
c = encrypt(xG, yG, xK, yK, priv_key, a, p, n)
decrypt(c, priv_key, a, p)
由于本人水平有限，文章出現紕漏，還請大佬們斧正。
