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來源:EETOP論壇 及 不忘初心的模擬小牛牛公眾號

作者:131v1vv

一直想對積分變換的內(nèi)容做一個比較系統(tǒng)的總結(jié)和歸納,可能是源于大學對信號與系統(tǒng)的渣渣學習吧。

相信不管是做模擬,混合信號還是射頻,《信號與系統(tǒng)》都是基礎內(nèi)容,且重要性極高,難度也很大,相信有不少從小抱著要從事IC設計這種高(搬)大(磚)上(工)專業(yè)或職業(yè)的人都栽在了學習信號與系統(tǒng)的道路上,僥幸拿到60分的估計考完后再也沒有動力撿起來了,像我這種學渣,僥幸入了坑,才發(fā)現(xiàn)出來混遲早要還的。既然躲不過,那就硬著頭皮從頭來過咯。

借這個機會,準備把積分變換的相關(guān)內(nèi)容系統(tǒng)的總結(jié)一下,順便也在好好學習思考。如果單單把oppenheim的書本內(nèi)容抄過來,肯定會很枯燥,被本科這種填鴨式教學給幼小的心靈留下的創(chuàng)傷之后,肯定不想在被傷害一次吧。所以我試著盡可能用比較少的公式,把相關(guān)內(nèi)容呈現(xiàn)出來。如果在被我寫的內(nèi)容傷害,那可是罪過啊。也表示一下歉意。

我們先總括的把相關(guān)知識及相互關(guān)系和基礎知識羅列出來。

這里不得不先聊聊歐拉,歐拉(Leonhard Euler,1707-1783),生于瑞士。具有開掛的一生,在18世紀的科學史上留下太多傳說。興趣廣泛,成就也很多。其中在復變函數(shù)的歐拉公式(Euler's formula),更是基礎內(nèi)容。

積分變換基礎

圖1

圖1中的歐拉公式,建立了復指數(shù)(complex exponential)和三角函數(shù)的關(guān)系。在數(shù)學、物理和工程中無處不在,我們要講的積分變換中會經(jīng)常見到。該公式可以使用泰勒級數(shù)展開進行證明。其中當φ=π時,歐拉公式進化為歐拉恒等式(Euler's identity)。這是數(shù)學中最令人著迷的公式。聯(lián)系了自然常數(shù)e,圓周率π,虛數(shù)單位i、實數(shù)的0和1。高斯曾有過類似感嘆:“一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力,他不可能成為數(shù)學家。”盡管我這榆木的腦袋,是沒有可能成為數(shù)學家啦,但不影響欣賞美的態(tài)度。

虛數(shù)單位i將實數(shù)擴展到復平面,歐拉公式把二維平面的點,從直角坐標到極坐標表示。這里借鑒wikipedia繪出歐拉公式的三維圖,紅色螺旋線。其在Re平面投影為Cos余弦函數(shù),在Im平面投影為Sin正弦函數(shù)。相信大家有學過電磁場會有印象,電磁波的傳播過程中,電場和磁場正交。其中紅色的部分的螺旋線也有點像DNA的結(jié)構(gòu),很神奇。

積分變換基礎

圖2

對歐拉公式變型,可以將三角函數(shù)表示為復指數(shù)的形式,如圖3所示。

積分變換基礎

圖3

在18世紀中葉,歐拉在研究振動弦問題時,嘗試通過線性組合不同諧波的三角函數(shù)來表示質(zhì)點振動問題。也經(jīng)過激烈的討論,有了逐漸認識和完善的過程。其中就包括伯努利,拉格朗日、傅里葉等人。特別是傅里葉在不利的背景下。深入研究了該問題,特別是非周期信號可以表示為不全成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)積分。以此激勵人們更深入的研究該問題。為紀念傅里葉的突出貢獻,以他的名字命名了傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。

周期為T的信號,其傅里葉級數(shù)表示如圖4所示。傅里葉級數(shù)系數(shù)為ak,其中a0成為直流分量,a±1為一次諧波分量,a±k為k次諧波分量。

積分變換基礎

圖4

對于圖4的周期信號傅里葉級數(shù)展開,相信大家對課本上的方波信號的展開都有印象,這里舉個三角波信號,如圖5所示。其中實信號的周期為2,在區(qū)間[-1,1]的定義為三角波。傅里葉級數(shù)系數(shù)的幅度如圖6所示。

積分變換基礎

圖5

積分變換基礎

圖6

圖5中例子,當k=0~7時,在一個周期上,傅里葉級數(shù)的直流分量和余弦函數(shù)表示如圖6所示。

積分變換基礎

圖7

圖8給出了當k逐漸增大時,有限k項的級數(shù)和的逼近情況。

積分變換基礎

圖8

一個例子怎么能行,課本上有周期方波的傅里葉級數(shù)展開,這里再給一個臺階信號及其傅里葉級數(shù)逼近的過程。其中藍色為周期等于1的臺階信號,在t=0.25,0.75和1處存在不連續(xù)點。紅色為當k增大時,有限k項傅里葉級數(shù)表示的信號,灰色是紅色在t-x(t)平面的投影。可以看到“吉伯斯現(xiàn)象”(Gibbs phenomenon)。在間斷點處出現(xiàn)過沖和振蕩。

積分變換基礎

圖9

當然,不是時域的任意信號都能夠表示的傅里葉級數(shù)都是收斂的。需要滿足一定的條件。對于傅里葉級數(shù)的收斂條件,德國數(shù)學家,狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)于1829年發(fā)表了任意函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)及收斂性的文章。也成為判斷傅里葉級數(shù)收斂的重要條件。

圖10先出"信號"與"系統(tǒng)"的匯總關(guān)系圖。在時域我們基本能完成信號與系統(tǒng)的所有操作。那么通過積分變換,轉(zhuǎn)換到s域或z域。會有與時域不一樣的新特性,和運算的便利性。

積分變換基礎

圖10

 

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