積分變換基礎-魔扣目錄

來源：EETOP論壇及不忘初心的模擬小牛牛公眾號

作者：131v1vv

一直想對積分變換的內容做一個比較系統的總結和歸納，可能是源于大學對信號與系統的渣渣學習吧。

相信不管是做模擬，混合信號還是射頻，《信號與系統》都是基礎內容，且重要性極高，難度也很大，相信有不少從小抱著要從事IC設計這種高（搬）大（磚）上（工）專業或職業的人都栽在了學習信號與系統的道路上，僥幸拿到60分的估計考完后再也沒有動力撿起來了，像我這種學渣，僥幸入了坑，才發現出來混遲早要還的。既然躲不過，那就硬著頭皮從頭來過咯。

借這個機會，準備把積分變換的相關內容系統的總結一下，順便也在好好學習思考。如果單單把oppenheim的書本內容抄過來，肯定會很枯燥，被本科這種填鴨式教學給幼小的心靈留下的創傷之后，肯定不想在被傷害一次吧。所以我試著盡可能用比較少的公式，把相關內容呈現出來。如果在被我寫的內容傷害，那可是罪過啊。也表示一下歉意。

我們先總括的把相關知識及相互關系和基礎知識羅列出來。

這里不得不先聊聊歐拉，歐拉（Leonhard Euler，1707-1783），生于瑞士。具有開掛的一生，在18世紀的科學史上留下太多傳說。興趣廣泛，成就也很多。其中在復變函數的歐拉公式(Euler's formula)，更是基礎內容。

圖1

圖1中的歐拉公式，建立了復指數(complex exponential)和三角函數的關系。在數學、物理和工程中無處不在，我們要講的積分變換中會經常見到。該公式可以使用泰勒級數展開進行證明。其中當φ=π時，歐拉公式進化為歐拉恒等式(Euler's identity)。這是數學中最令人著迷的公式。聯系了自然常數e，圓周率π，虛數單位i、實數的0和1。高斯曾有過類似感嘆：“一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力，他不可能成為數學家。”盡管我這榆木的腦袋，是沒有可能成為數學家啦，但不影響欣賞美的態度。

虛數單位i將實數擴展到復平面，歐拉公式把二維平面的點，從直角坐標到極坐標表示。這里借鑒wikipedia繪出歐拉公式的三維圖，紅色螺旋線。其在Re平面投影為Cos余弦函數，在Im平面投影為Sin正弦函數。相信大家有學過電磁場會有印象，電磁波的傳播過程中，電場和磁場正交。其中紅色的部分的螺旋線也有點像DNA的結構，很神奇。

圖2

對歐拉公式變型，可以將三角函數表示為復指數的形式，如圖3所示。

圖3

在18世紀中葉，歐拉在研究振動弦問題時，嘗試通過線性組合不同諧波的三角函數來表示質點振動問題。也經過激烈的討論，有了逐漸認識和完善的過程。其中就包括伯努利，拉格朗日、傅里葉等人。特別是傅里葉在不利的背景下。深入研究了該問題，特別是非周期信號可以表示為不全成諧波關系的正弦信號的加權積分。以此激勵人們更深入的研究該問題。為紀念傅里葉的突出貢獻，以他的名字命名了傅里葉級數和傅里葉變換。

周期為T的信號，其傅里葉級數表示如圖4所示。傅里葉級數系數為ak，其中a0成為直流分量，a±1為一次諧波分量，a±k為k次諧波分量。

圖4

對于圖4的周期信號傅里葉級數展開，相信大家對課本上的方波信號的展開都有印象，這里舉個三角波信號，如圖5所示。其中實信號的周期為2，在區間[-1,1]的定義為三角波。傅里葉級數系數的幅度如圖6所示。

圖5

圖6

圖5中例子，當k=0~7時，在一個周期上，傅里葉級數的直流分量和余弦函數表示如圖6所示。

圖7

圖8給出了當k逐漸增大時，有限k項的級數和的逼近情況。

圖8

一個例子怎么能行，課本上有周期方波的傅里葉級數展開，這里再給一個臺階信號及其傅里葉級數逼近的過程。其中藍色為周期等于1的臺階信號，在t=0.25，0.75和1處存在不連續點。紅色為當k增大時，有限k項傅里葉級數表示的信號，灰色是紅色在t-x(t)平面的投影。可以看到“吉伯斯現象”(Gibbs phenomenon)。在間斷點處出現過沖和振蕩。