在回溯算法：求組合問題！中，我們通過回溯搜索法，解決了n個數中求k個數的組合問題。

文中的回溯法是可以剪枝優化的，本篇我們繼續來看一下題目77. 組合。

鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/combinations/

「看本篇之前，需要先看回溯算法：求組合問題！」。

大家先回憶一下[77. 組合]給出的回溯法的代碼：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; // 存放符合條件結果的集合
    vector<int> path; // 用來存放符合條件結果
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
            path.push_back(i); // 處理節點 
            backtracking(n, k, i + 1); // 遞歸
            path.pop_back(); // 回溯，撤銷處理的節點
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear(); // 可以不寫
        path.clear();   // 可以不寫
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

剪枝優化

我們說過，回溯法雖然是暴力搜索，但也有時候可以有點剪枝優化一下的。

在遍歷的過程中有如下代碼：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) { 
    path.push_back(i); 
    backtracking(n, k, i + 1); 
    path.pop_back(); 
}

這個遍歷的范圍是可以剪枝優化的，怎么優化呢？

來舉一個例子，n = 4，k = 4的話，那么第一層for循環的時候，從元素2開始的遍歷都沒有意義了。在第二層for循環，從元素3開始的遍歷都沒有意義了。

這么說有點抽象，如圖所示：

圖中每一個節點（圖中為矩形），就代表本層的一個for循環，那么每一層的for循環從第二個數開始遍歷的話，都沒有意義，都是無效遍歷。

「所以，可以剪枝的地方就在遞歸中每一層的for循環所選擇的起始位置」。

「如果for循環選擇的起始位置之后的元素個數已經不足我們需要的元素個數了，那么就沒有必要搜索了」。

注意代碼中i，就是for循環里選擇的起始位置。

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {

接下來看一下優化過程如下：

已經選擇的元素個數：path.size();
還需要的元素個數為: k - path.size();
在集合n中至少要從該起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，開始遍歷

為什么有個+1呢，因為包括起始位置，我們要是一個左閉的集合。

舉個例子，n = 4，k = 3，目前已經選取的元素為0（path.size為0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

從2開始搜索都是合理的，可以是組合[2, 3, 4]。

這里大家想不懂的話，建議也舉一個例子，就知道是不是要+1了。

所以優化之后的for循環是：

for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i為本次搜索的起始位置

優化后整體代碼如下：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; 
    vector<int> path;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 優化的地方
            path.push_back(i); // 處理節點 
            backtracking(n, k, i + 1);
            path.pop_back(); // 回溯，撤銷處理的節點
        }
    }
public:

    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};