花下貓語(yǔ)：在 Python/ target=_blank class=infotextkey>Python 中，不同類(lèi)型的數(shù)字可以直接做算術(shù)運(yùn)算，并不需要作顯式的類(lèi)型轉(zhuǎn)換。但是，它的“隱式類(lèi)型轉(zhuǎn)換”可能跟其它語(yǔ)言不同，因?yàn)?Python 中的數(shù)字是一種特殊的對(duì)象，派生自同一個(gè)抽象基類(lèi)。在上一篇文章 中，我們討論到了 Python 數(shù)字的運(yùn)算，然后我想探究“Python 的數(shù)字對(duì)象到底是什么”的話(huà)題，所以就翻譯了這篇 PEP，希望對(duì)你也有所幫助。
PEP原文： https://www.python.org/dev/peps/pep-3141/
PEP標(biāo)題： PEP 3141 -- A Type Hierarchy for Numbers
PEP作者： Jeffrey Yasskin
創(chuàng)建日期： 2007-04-23
譯者 ：豌豆花下貓@Python貓公眾號(hào)
PEP翻譯計(jì)劃： https://github.com/chinesehuazhou/peps-cn
概要
本提案定義了一種抽象基類(lèi)（ABC）（PEP 3119）的層次結(jié)構(gòu)，用來(lái)表示類(lèi)似數(shù)字（number-like）的類(lèi)。它提出了一個(gè) Number :> Complex :> Real :> Rational :> Integral 的層次結(jié)構(gòu)，其中 A :> B 表示“A 是 B 的超類(lèi)”。該層次結(jié)構(gòu)受到了 Scheme 的數(shù)字塔（numeric tower）啟發(fā)。（譯注：數(shù)字--復(fù)數(shù)--實(shí)數(shù)--有理數(shù)--整數(shù)）
基本原理
以數(shù)字作為參數(shù)的函數(shù)應(yīng)該能夠判定這些數(shù)字的屬性，并且根據(jù)數(shù)字的類(lèi)型，確定是否以及何時(shí)進(jìn)行重載，即基于參數(shù)的類(lèi)型，函數(shù)應(yīng)該是可重載的。
例如，切片要求其參數(shù)為Integrals，而math模塊中的函數(shù)要求其參數(shù)為Real。
規(guī)范
本 PEP 規(guī)定了一組抽象基類(lèi)（Abstract Base Class），并提出了一個(gè)實(shí)現(xiàn)某些方法的通用策略。它使用了來(lái)自于PEP 3119的術(shù)語(yǔ)，但是該層次結(jié)構(gòu)旨在對(duì)特定類(lèi)集的任何系統(tǒng)方法都有意義。
標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)中的類(lèi)型檢查應(yīng)該使用這些類(lèi)，而不是具體的內(nèi)置類(lèi)型。
數(shù)值類(lèi)
我們從 Number 類(lèi)開(kāi)始，它是人們想象的數(shù)字類(lèi)型的模糊概念。此類(lèi)僅用于重載；它不提供任何操作。
class Number(metaclass=ABCMeta): pass
大多數(shù)復(fù)數(shù)（complex number）的實(shí)現(xiàn)都是可散列的，但是如果你需要依賴(lài)它，則必須明確地檢查：此層次結(jié)構(gòu)支持可變的數(shù)。
class Complex(Number):
"""Complex defines the operations that work on the builtin complex type.
In short, those are: conversion to complex, bool(), .real, .imag,
+, -, *, /, **, abs(), .conjugate(), ==, and !=.
If it is given heterogenous arguments, and doesn't have special
knowledge about them, it should fall back to the builtin complex
type as described below.
"""
@abstractmethod def __complex__(self):
"""Return a builtin complex instance."""
def __bool__(self):
"""True if self != 0."""
return self != 0
@abstractproperty def real(self):
"""Retrieve the real component of this number.
This should subclass Real.
"""
raise NotImplementedError
@abstractproperty def imag(self):
"""Retrieve the real component of this number.
This should subclass Real.
"""
raise NotImplementedError
@abstractmethod def __add__(self, other):
raise NotImplementedError
@abstractmethod def __radd__(self, other):
raise NotImplementedError
@abstractmethod def __neg__(self):
raise NotImplementedError
def __pos__(self):
"""Coerces self to whatever class defines the method."""
raise NotImplementedError
def __sub__(self, other):
return self + -other
def __rsub__(self, other):
return -self + other
@abstractmethod def __mul__(self, other):
raise NotImplementedError
@abstractmethod def __rmul__(self, other):
raise NotImplementedError
@abstractmethod def __div__(self, other):
"""a/b; should promote to float or complex when necessary."""
raise NotImplementedError
@abstractmethod def __rdiv__(self, other):
raise NotImplementedError
@abstractmethod def __pow__(self, exponent):
"""a**b; should promote to float or complex when necessary."""
raise NotImplementedError
@abstractmethod def __rpow__(self, base):
raise NotImplementedError
@abstractmethod def __abs__(self):
"""Returns the Real distance from 0."""
raise NotImplementedError
@abstractmethod def conjugate(self):
"""(x+y*i).conjugate() returns (x-y*i)."""
raise NotImplementedError
@abstractmethod def __eq__(self, other):
raise NotImplementedError
# __ne__ is inherited from object and negates whatever __eq__ does.
Real抽象基類(lèi)表示在實(shí)數(shù)軸上的值，并且支持內(nèi)置的float的操作。實(shí)數(shù)（Real number）是完全有序的，除了 NaN（本 PEP 基本上不考慮它）。
class Real(Complex):
"""To Complex, Real adds the operations that work on real numbers.
In short, those are: conversion to float, trunc(), math.floor(),
math.ceil(), round(), divmod(), //, %, <, <=, >, and >=.
Real also provides defaults for some of the derived operations.
"""
# XXX What to do about the __int__ implementation that's # currently present on float? Get rid of it?
@abstractmethod def __float__(self): """Any Real can be converted to a native float object."""
raise NotImplementedError @abstractmethod def __trunc__(self): """Truncates self to an Integral.
Returns an Integral i such that:
* i>=0 iff self>0;
* abs(i) <= abs(self);
* for any Integral j satisfying the first two conditions,
abs(i) >= abs(j) [i.e. i has "maximal" abs among those].
i.e. "truncate towards 0".
"""
raise NotImplementedError @abstractmethod def __floor__(self): """Finds the greatest Integral <= self."""
raise NotImplementedError @abstractmethod def __ceil__(self): """Finds the least Integral >= self."""
raise NotImplementedError @abstractmethod def __round__(self, ndigits:Integral=None): """Rounds self to ndigits decimal places, defaulting to 0.
If ndigits is omitted or None, returns an Integral,
otherwise returns a Real, preferably of the same type as
self. Types may choose which direction to round half. For
example, float rounds half toward even.
"""
raise NotImplementedError def __divmod__(self, other): """The pair (self // other, self % other).
Sometimes this can be computed faster than the pair of
operations.
"""
return (self // other, self % other) def __rdivmod__(self, other): """The pair (self // other, self % other).
Sometimes this can be computed faster than the pair of
operations.
"""
return (other // self, other % self) @abstractmethod def __floordiv__(self, other): """The floor() of self/other. Integral."""
raise NotImplementedError @abstractmethod def __rfloordiv__(self, other): """The floor() of other/self."""
raise NotImplementedError @abstractmethod def __mod__(self, other): """self % other
See
https://mail.python.org/pipermail/python-3000/2006-May/001735.html
and consider using "self/other - trunc(self/other)"
instead if you're worried about round-off errors.
"""
raise NotImplementedError @abstractmethod def __rmod__(self, other): """other % self"""
raise NotImplementedError @abstractmethod def __lt__(self, other): """< on Reals defines a total ordering, except perhaps for NaN."""
raise NotImplementedError @abstractmethod def __le__(self, other): raise NotImplementedError # __gt__ and __ge__ are automatically done by reversing the arguments. # (But __le__ is not computed as the opposite of __gt__!) # Concrete implementations of Complex abstract methods. # Subclasses may override these, but don't have to. def __complex__(self): return complex(float(self)) @property def real(self): return +self @property def imag(self): return 0 def conjugate(self): """Conjugate is a no-op for Reals."""
return +self
我們應(yīng)該整理 Demo/classes/Rat.py，并把它提升為 Rational.py 加入標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)。然后它將實(shí)現(xiàn)有理數(shù)（Rational）抽象基類(lèi)。
class Rational(Real, Exact):
""".numerator and .denominator should be in lowest terms."""
@abstractproperty def numerator(self):
raise NotImplementedError
@abstractproperty def denominator(self):
raise NotImplementedError
# Concrete implementation of Real's conversion to float.
# (This invokes Integer.__div__().)
def __float__(self):
return self.numerator / self.denominator
最后是整數(shù)類(lèi)：
class Integral(Rational):
"""Integral adds a conversion to int and the bit-string operations."""
@abstractmethod def __int__(self):
raise NotImplementedError def __index__(self):
"""__index__() exists because float has __int__()."""
return int(self)
def __lshift__(self, other):
return int(self) << int(other)
def __rlshift__(self, other):
return int(other) << int(self)
def __rshift__(self, other):
return int(self) >> int(other)
def __rrshift__(self, other):
return int(other) >> int(self)
def __and__(self, other):
return int(self) & int(other)
def __rand__(self, other):
return int(other) & int(self)
def __xor__(self, other):
return int(self) ^ int(other)
def __rxor__(self, other):
return int(other) ^ int(self)
def __or__(self, other):
return int(self) | int(other)
def __ror__(self, other):
return int(other) | int(self)
def __invert__(self):
return ~int(self)
# Concrete implementations of Rational and Real abstract methods. def __float__(self):
"""float(self) == float(int(self))"""
return float(int(self))
@property
def numerator(self):
"""Integers are their own numerators."""
return +self
@property
def denominator(self):
"""Integers have a denominator of 1."""
return 1
運(yùn)算及__magic__方法的變更
為了支持從 float 到 int（確切地說(shuō)，從 Real 到 Integral）的精度收縮，我們提出了以下新的 __magic__ 方法，可以從相應(yīng)的庫(kù)函數(shù)中調(diào)用。所有這些方法都返回 Intergral 而不是 Real。
- __trunc__(self)：在新的內(nèi)置 trunc(x) 里調(diào)用，它返回從 0 到 x 之間的最接近 x 的 Integral。
- __floor__(self)：在 math.floor(x) 里調(diào)用，返回最大的 Integral <= x。
- __ceil__(self)：在 math.ceil(x) 里調(diào)用，返回最小的 Integral > = x。
- __round__(self)：在 round(x) 里調(diào)用，返回最接近 x 的 Integral ，根據(jù)選定的類(lèi)型作四舍五入。浮點(diǎn)數(shù)將從 3.0 版本起改為向偶數(shù)端四舍五入。（譯注：round(2.5) 等于 2，round(3.5) 等于 4）。它還有一個(gè)帶兩參數(shù)的版本__round__(self, ndigits)，被 round(x, ndigits) 調(diào)用，但返回的是一個(gè) Real。
在 2.6 版本中，math.floor、math.ceil 和 round 將繼續(xù)返回浮點(diǎn)數(shù)。
float 的 int() 轉(zhuǎn)換等效于 trunc()。一般而言，int() 的轉(zhuǎn)換首先會(huì)嘗試__int__()，如果找不到，再?lài)L試__trunc__()。
complex.__{divmod, mod, floordiv, int, float}__ 也消失了。提供一個(gè)好的錯(cuò)誤消息來(lái)幫助困惑的搬運(yùn)工會(huì)很好，但更重要的是不出現(xiàn)在 help(complex) 中。
給類(lèi)型實(shí)現(xiàn)者的說(shuō)明
實(shí)現(xiàn)者應(yīng)該注意使相等的數(shù)字相等，并將它們散列為相同的值。如果實(shí)數(shù)有兩個(gè)不同的擴(kuò)展，這可能會(huì)變得微妙。例如，一個(gè)復(fù)數(shù)類(lèi)型可以像這樣合理地實(shí)現(xiàn) hash()：
def __hash__(self):
return hash(complex(self))
但應(yīng)注意所有超出了內(nèi)置復(fù)數(shù)范圍或精度的值。
添加更多數(shù)字抽象基類(lèi)
當(dāng)然，數(shù)字還可能有更多的抽象基類(lèi)，如果排除了添加這些數(shù)字的可能性，這會(huì)是一個(gè)糟糕的等級(jí)體系。你可以使用以下方法在 Complex 和 Real 之間添加MyFoo：
class MyFoo(Complex): ...
MyFoo.register(Real)
實(shí)現(xiàn)算術(shù)運(yùn)算
我們希望實(shí)現(xiàn)算術(shù)運(yùn)算，使得在混合模式的運(yùn)算時(shí)，要么調(diào)用者知道如何處理兩種參數(shù)類(lèi)型，要么將兩者都轉(zhuǎn)換為最接近的內(nèi)置類(lèi)型，并以此進(jìn)行操作。
對(duì)于 Integral 的子類(lèi)型，這意味著__add__和__radd__應(yīng)該被定義為：
class MyIntegral(Integral):
def __add__(self, other):
if isinstance(other, MyIntegral):
return do_my_adding_stuff(self, other)
elif isinstance(other, OtherTypeIKnowAbout):
return do_my_other_adding_stuff(self, other)
else:
return NotImplemented
def __radd__(self, other):
if isinstance(other, MyIntegral):
return do_my_adding_stuff(other, self)
elif isinstance(other, OtherTypeIKnowAbout):
return do_my_other_adding_stuff(other, self)
elif isinstance(other, Integral):
return int(other) + int(self)
elif isinstance(other, Real):
return float(other) + float(self)
elif isinstance(other, Complex):
return complex(other) + complex(self)
else:
return NotImplemented
對(duì) Complex 的子類(lèi)進(jìn)行混合類(lèi)型操作有 5 種不同的情況。我把以上所有未包含 MyIntegral 和 OtherTypeIKnowAbout 的代碼稱(chēng)為“樣板”。
a 是 A 的實(shí)例，它是Complex(a : A <: Complex) 的子類(lèi)型，還有 b : B <: Complex。對(duì)于 a + b，我這么考慮：
- 如果 A 定義了接受 b 的__add__，那么沒(méi)問(wèn)題。
- 如果 A 走到了樣板代碼分支（譯注：else 分支），還從__add__返回一個(gè)值的話(huà)，那么我們就錯(cuò)過(guò)了為 B 定義一個(gè)更智能的__radd__的可能性，因此樣板應(yīng)該從__add__返回 NotImplemented。（或者 A 可以不實(shí)現(xiàn)__add__）
- 然后 B 的__radd__的機(jī)會(huì)來(lái)了。如果它接受 a，那么沒(méi)問(wèn)題。
- 如果它走到樣板分支上，就沒(méi)有辦法了，因此需要有默認(rèn)的實(shí)現(xiàn)。
- 如果 B <: A，則 Python 會(huì)在 A.__ add__之前嘗試 B.__ radd__。這也可以，因?yàn)樗腔?A 而實(shí)現(xiàn)的，因此可以在委派給 Complex 之前處理這些實(shí)例。
如果 A <: Complex 和 B <: Real 沒(méi)有其它關(guān)系，則合適的共享操作是內(nèi)置復(fù)數(shù)的操作，它們的__radd__都在其中，因此 a + b == b + a。（譯注：這幾段沒(méi)看太明白，可能譯得不對(duì)）
被拒絕的方案
本 PEP 的初始版本定義了一個(gè)被 Haskell Numeric Prelude 所啟發(fā)的代數(shù)層次結(jié)構(gòu)，其中包括 MonoidUnderPlus、AdditiveGroup、Ring 和 Field，并在得到數(shù)字之前，還有其它幾種可能的代數(shù)類(lèi)型。
我們?cè)鞠Ｍ@對(duì)使用向量和矩陣的人有用，但 NumPy 社區(qū)確實(shí)對(duì)此并不感興趣，另外我們還遇到了一個(gè)問(wèn)題，即便 x 是 X <: MonoidUnderPlus 的實(shí)例，而且 y 是 Y < : MonoidUnderPlus 的實(shí)例，x + y 可能還是行不通。
然后，我們?yōu)閿?shù)字提供了更多的分支結(jié)構(gòu)，包括高斯整數(shù)（Gaussian Integer）和 Z/nZ 之類(lèi)的東西，它們可以是 Complex，但不一定支持“除”之類(lèi)的操作。
社區(qū)認(rèn)為這對(duì) Python 來(lái)說(shuō)太復(fù)雜了，因此我現(xiàn)在縮小了提案的范圍，使其更接近于 Scheme 數(shù)字塔。
十進(jìn)制類(lèi)型
經(jīng)與作者協(xié)商，已決定目前不將 Decimal 類(lèi)型作為數(shù)字塔的一部分。
參考文獻(xiàn)
1、抽象基類(lèi)簡(jiǎn)介：http://www.python.org/dev/peps/pep-3119/
2、可能是 Python 3 的類(lèi)樹(shù)？Bill Janssen 的 Wiki 頁(yè)面：http://wiki.python.org/moin/AbstractBaseClasses
3、NumericPrelude：數(shù)字類(lèi)型類(lèi)的實(shí)驗(yàn)性備選層次結(jié)構(gòu)：http://darcs.haskell.org/numericprelude/docs/html/index.html
4、Scheme 數(shù)字塔：https://groups.csail.mit.edu/mac/ftpdir/scheme-reports/r5rs-html/r5rs_8.html#SEC50
（譯注：在譯完之后，我才發(fā)現(xiàn)“PEP中文翻譯計(jì)劃”已收錄過(guò)一篇譯文，有些地方譯得不盡相同，讀者們可比對(duì)閱讀。）
致謝
感謝 Neal Norwitz 最初鼓勵(lì)我編寫(xiě)此 PEP，感謝 Travis Oliphant 指出 numpy 社區(qū)并不真正關(guān)心代數(shù)概念，感謝 Alan Isaac 提醒我 Scheme 已經(jīng)做到了，以及感謝 Guido van Rossum 和郵件組里的其他人幫忙完善了這套概念。
版權(quán)
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源文件：https://github.com/python/peps/blob/master/pep-3141.txt
