問題：輸入一個正整數(shù) N（N > 2），求小于 N 的全部質(zhì)數(shù)。

質(zhì)數(shù)，就是除了1和它本身外不存在其他因子的數(shù)。

1、基本循環(huán)法

循環(huán)法：利用質(zhì)數(shù)的定義，循環(huán)判斷該數(shù)除以比它小的每個自然數(shù)（大于1），如果有能被它整除的，則它就不是質(zhì)數(shù)。

示例代碼如下：

#include <IOStream>
using namespace std;

int main()
{
    int N = 50;
    int sumStep = 0; // 統(tǒng)計迭代次數(shù)
  
    cout << 2 << endl; // 2 是質(zhì)數(shù)
    for (int i = 3; i < N; ++i) {
        bool flag = true; // 假設(shè)是質(zhì)數(shù)
        for (int j = 2; j < i; ++j) {
            sumStep = sumStep + 1;
            if (!(i % j)) { // 找到能被整除的
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if (flag) {
            cout << i << endl;
        }
    }
    cout << "sumStep: " << sumStep << endl;
  
    return 0;
}

運行結(jié)果如下：

2、算法優(yōu)化

可以看到，當(dāng) N = 50 時，上述算法總共進(jìn)行了349次循環(huán)。

在上述基本算法的基礎(chǔ)上，可以對循環(huán)進(jìn)行一些優(yōu)化，減少循環(huán)次數(shù)：

• 對于第一層循環(huán)：除了2之外，偶數(shù)肯定不是質(zhì)數(shù)，因此可以將第一層循環(huán)步數(shù)設(shè)為2；
• 對于第二層循環(huán)：在第一層循環(huán)的基礎(chǔ)上，因為質(zhì)數(shù)首先肯定是奇數(shù)，所以只需用奇數(shù)整除即可，即第二層循環(huán)步數(shù)也可以設(shè)為2；
• 對于第二層循環(huán)：判斷一個數(shù) i 是不是質(zhì)數(shù)，只需用 3 到 sqrt(i) 之間的奇數(shù)判斷即可。因為 i 的因數(shù)除了 sqrt(i)，其他都是成對存在的，比如36的因數(shù)（2、3、4、6、9、12、18），36 = 2 * 18；36 = 3 * 12；36 = 4 * 9；36 = 6 * 6；

代碼優(yōu)化如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
    int N = 50;
    int sumStep = 0; // 統(tǒng)計迭代次數(shù)

    cout << 2 << endl; // 2 是質(zhì)數(shù)
    for (int i = 3; i < N; i += 2) {
        bool flag = true;    // 假設(shè)是質(zhì)數(shù)
        int jStop = sqrt(i); // 終止條件
        for (int j = 3; j <= jStop; j += 2) {
            sumStep = sumStep + 1;
            if (!(i % j)) { // 找到能被整除的
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if (flag) {
            cout << i << endl;
        }
    }
    cout << "sumStep: " << sumStep << endl;

    return 0;
}

運行結(jié)果如下：

優(yōu)化后，只需31次循環(huán)，相比原來的349次，大大減少了循環(huán)次數(shù)，提升了算法效率。