問題：輸入一個正整數 N（N > 2），求小于 N 的全部質數。

質數，就是除了1和它本身外不存在其他因子的數。

1、基本循環法

循環法：利用質數的定義，循環判斷該數除以比它小的每個自然數（大于1），如果有能被它整除的，則它就不是質數。

示例代碼如下：

#include <IOStream>
using namespace std;

int main()
{
    int N = 50;
    int sumStep = 0; // 統計迭代次數
  
    cout << 2 << endl; // 2 是質數
    for (int i = 3; i < N; ++i) {
        bool flag = true; // 假設是質數
        for (int j = 2; j < i; ++j) {
            sumStep = sumStep + 1;
            if (!(i % j)) { // 找到能被整除的
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if (flag) {
            cout << i << endl;
        }
    }
    cout << "sumStep: " << sumStep << endl;
  
    return 0;
}

運行結果如下：

2、算法優化

可以看到，當 N = 50 時，上述算法總共進行了349次循環。

在上述基本算法的基礎上，可以對循環進行一些優化，減少循環次數：

• 對于第一層循環：除了2之外，偶數肯定不是質數，因此可以將第一層循環步數設為2；
• 對于第二層循環：在第一層循環的基礎上，因為質數首先肯定是奇數，所以只需用奇數整除即可，即第二層循環步數也可以設為2；
• 對于第二層循環：判斷一個數 i 是不是質數，只需用 3 到 sqrt(i) 之間的奇數判斷即可。因為 i 的因數除了 sqrt(i)，其他都是成對存在的，比如36的因數（2、3、4、6、9、12、18），36 = 2 * 18；36 = 3 * 12；36 = 4 * 9；36 = 6 * 6；

代碼優化如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
    int N = 50;
    int sumStep = 0; // 統計迭代次數

    cout << 2 << endl; // 2 是質數
    for (int i = 3; i < N; i += 2) {
        bool flag = true;    // 假設是質數
        int jStop = sqrt(i); // 終止條件
        for (int j = 3; j <= jStop; j += 2) {
            sumStep = sumStep + 1;
            if (!(i % j)) { // 找到能被整除的
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if (flag) {
            cout << i << endl;
        }
    }
    cout << "sumStep: " << sumStep << endl;

    return 0;
}

運行結果如下：

優化后，只需31次循環，相比原來的349次，大大減少了循環次數，提升了算法效率。