先說(shuō)一下我的思路，由于我自從中學(xué)開始就是一個(gè)深度的數(shù)形結(jié)合控，希望能把一切都畫在一個(gè)坐標(biāo)系里，然后無(wú)非就是找最高點(diǎn)，最低點(diǎn)，找規(guī)律這些了，所謂求極值，展示特征無(wú)非也就是那些慣用的方法， 求導(dǎo)，積分，數(shù)列展開這些，所以對(duì)于BBR算法，我依然循著這樣的思路。
現(xiàn)在要做的，就是怎么把BBR的行為畫在一個(gè)坐標(biāo)系里。如果這一步做到了的話，我相信以我20年的經(jīng)驗(yàn)順?biāo)浦凼虑榫鸵欢艹伞?/p>
其實(shí)，BBR最初的slides和paper中，不斷展示的圖示是下面這個(gè)：
然后，我仔細(xì)觀察了這兩個(gè)坐標(biāo)系，分別是BW(其實(shí)是Deliveryrate) vs Inflight以及RTT vs Inflight，都有Infligh。其實(shí)，這兩張圖是用于展示BBR特征的，它只說(shuō)了What，并沒有解釋W(xué)hy，實(shí)際上，難道Inflight不應(yīng)該是 計(jì)算出來(lái)的 嗎？如果說(shuō)我能根據(jù)另一個(gè)坐標(biāo)系的曲線進(jìn)行一系列計(jì)算，最后 推導(dǎo)出Inflight的值必須是那個(gè)值才能達(dá)到某種最優(yōu)的效果，那就解釋了Why。
就是這個(gè)思路。讓我們一步一步去做。
既然我們把Inflight當(dāng)成了一個(gè)結(jié)果而不是原因，為了找這個(gè)原因，我們合并兩個(gè)坐標(biāo)系，消去公共的Inflight，那么我們就可以得到RTT vs BW的曲線了！
為了數(shù)學(xué)上表述的方便，后面統(tǒng)一一下符號(hào)：BW：ww wwRTT：tt ttInflight：ff ff臨界的Inflight：fcfc f_cfc?
下圖是消去ff ff的方法：首先給出圖像的方程表示：
r={1f−fc−1f≤fcf>fcr={1f≤fcf−fc−1f>fc r =
{1f−fc−1amp;f≤fcamp;fgt;fc{1amp;f≤fcf−fc−1amp;fgt;fc
r={1f−fc?−1?f≤fc?f>fc??
w={ffc1f≤fcf>fcw={ffcf≤fc1f>fc w=
?????ffc1amp;f≤fcamp;fgt;fc{ffcamp;f≤fc1amp;fgt;fc
w=????fc?f?1?f≤fc?f>fc??
很簡(jiǎn)單，方程組聯(lián)立就可以消去變量ff ff。
我們可以看到，最終ww ww和tt tt的取值范圍就是那條開向第二象限的折線，現(xiàn)在的問題是，在這條折線中，P(w,t)P(w,t) P(w,t)P(w,t)在哪里是最優(yōu)的，而此時(shí)的Inflight值就是最適合灌進(jìn)網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)包的數(shù)量，換句話說(shuō)，它反映了Cwnd應(yīng)該取什么值。
問題轉(zhuǎn)化為了 如何度量所謂的最優(yōu) 。
一般工業(yè)界和經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域都會(huì)采用 ***產(chǎn)出/成本***的比值來(lái)衡量一個(gè)系統(tǒng)是不是優(yōu)秀，換句話說(shuō)就是 最優(yōu)的系統(tǒng)是用最少的代價(jià)換取最高的收益。對(duì)于我們目前的模型而言，用語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，即 最少的時(shí)間傳輸最多的數(shù)據(jù)包。
因此，很顯然，我給出下列的比值，最為衡量系統(tǒng)是否最優(yōu)的度量：E=wtE=wt E=dfrac{w}{t}E=tw?問題變成了 P(w,t)取在哪里，上述的比值E最大？
肉眼看得出來(lái)，ww ww取最大值wmax=1wmax=1 w_{max}=1wmax?=1，tt tt取最小值tmin=1tmin=1 t_{min}=1tmin?=1即可，即取點(diǎn)Pe(wmax,tmin)Pe(wmax,tmin) P_{e}(w_{max},t_{min})Pe?(wmax?,tmin?)，所謂的最優(yōu)的EE EE值就是11 11，而此時(shí)，Inflight的值就是所謂的BDP=wmax×tmin=fc=1BDP=wmax×tmin=fc=1 BDP=w_{max} times t_{min}=f_c=1BDP=wmax?×tmin?=fc?=1
這確實(shí)說(shuō)明了Inflight取值為臨界的恰好要使得隊(duì)列增加的fcfc f_cfc?時(shí)，系統(tǒng)的效能真的是最優(yōu)的。
如果你將P(w,t)P(w,t) P(w,t)P(w,t)在允許的定義域值域稍微偏離PePe P_ePe?點(diǎn)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)EE EE值均會(huì)減少，這反映在TCP數(shù)據(jù)傳輸上，就是：
- 要么帶寬沒有用滿，沒有達(dá)到wmaxwmax w_{max}wmax?;
- 要么帶寬超額了，數(shù)據(jù)排隊(duì)了，數(shù)據(jù)到達(dá)的太快，因此延遲增加了；
無(wú)論發(fā)生了上述的什么情況，顯然都不是什么好事。
這算完成了任務(wù)嗎？證明了BBR是最優(yōu)的。看起來(lái)算是吧…
如果這樣就算是一個(gè)BBR背后完備的數(shù)學(xué)模型，這篇文章一個(gè)多月前就能寫出了。。。
我們發(fā)現(xiàn)，上面的推導(dǎo)基于一個(gè)明顯的事實(shí)，即 用肉眼看，之所以可以用肉眼觀測(cè)出最值，那是因?yàn)閅uchung Cheng和Neal Cardwell在描述BBR算法時(shí)，簡(jiǎn)化了模型，基于簡(jiǎn)化的模型，才給出了那兩幅BW vs Inflight和RTT vs Inflight的坐標(biāo)圖示，在這兩個(gè)圖示中，所有的線均為直線。
所謂的簡(jiǎn)化模型，即假設(shè)數(shù)據(jù)包是間隔均勻勻速到達(dá)的，數(shù)據(jù)包也是勻速經(jīng)過(guò)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)設(shè)備的。但是在實(shí)際上，這并不是事實(shí)，真實(shí)的情況畫在坐標(biāo)系里并不是直線，而是曲線，類似下面的樣子：
此時(shí)如果我們依然要求解E=wtE=wt E=dfrac{w}{t}E=tw?的極大值，很顯然要求這條曲線函數(shù)tt tt針對(duì)ww ww的導(dǎo)數(shù)，這下麻煩有點(diǎn)大！我怎么能知道帶寬ww ww和傳輸時(shí)間tt tt之間的關(guān)系呢？顯然，必須有二者之間的關(guān)系，才能求導(dǎo)?。?/p>
怎么辦？這件事讓我搞了一個(gè)多月時(shí)間！
我能理解數(shù)據(jù)包的到達(dá)其實(shí)是柏松到達(dá)，被服務(wù)時(shí)間符合指數(shù)分布特征，但是我并沒有就著這個(gè)思路思考下去(不然我一定能想到排隊(duì)論)，而是希望能先有一個(gè)通用的解。
起初，我是反著求解，我假設(shè)傳輸時(shí)間tt tt已經(jīng)可以用帶寬ww ww來(lái)表示，即t=f(w)t=f(w) t=f(w)t=f(w)然后，就會(huì)有：
```
E=wt=wf(w)E=wt=wf(w) E=dfrac{w}{t}=dfrac{w}{f(w)}E=tw?=f(w)w?進(jìn)一步按照求導(dǎo)法則針對(duì)ww ww求導(dǎo)，推導(dǎo)如下：E'=w×df(w)dw−f(w)f2(w)E′=w×df(w)dw−f(w)f2(w) Eprime=dfrac{wtimes dfrac{d f(w)}{d w}-f(w)}{f^2(w)}E′=f2(w)w×dwdf(w)?−f(w)?若求EE EE的極大值，那么它一定出現(xiàn)在曲線的拐點(diǎn)處，其導(dǎo)數(shù)一定為00 00，因此：E'=w×df(w)dw−f(w)f2(w)=0E′=w×df(w)dw−f(w)f2(w)=0 Eprime=dfrac{wtimes dfrac{d f(w)}{d w}-f(w)}{f^2(w)}=0E′=f2(w)w×dwdf(w)?−f(w)?=0f(w)=w×df(w)dwf(w)=w×df(w)dw f(w)=wtimes dfrac{d f(w)}{d w}f(w)=w×dwdf(w)?
```
這便是最終的關(guān)系式，雖然我不知道tt tt如何用ww ww來(lái)表示，但這個(gè)關(guān)系是存在的，這是個(gè)普遍適用的關(guān)系。
我為得到這個(gè)關(guān)系式興奮了一個(gè)周末，非常有成就感，雖然它現(xiàn)在看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但在當(dāng)時(shí)，這個(gè)想法真的顯得來(lái)得太晚！
我是從初中開始就喜歡擺置坐標(biāo)系的，一直到大學(xué)，幾乎任何數(shù)學(xué)題，我都能采用數(shù)形結(jié)合的方案一題多解，某種程度上，我老婆就是當(dāng)時(shí)我如此炫技追到的…最近幾年，我用同樣的方式設(shè)計(jì)了iptables的優(yōu)化方案，DxR的優(yōu)化方案…不多的幾次失敗包括Bloom Filter的形象化展示。
所以面對(duì)上述的表達(dá)式子，依然可以任意把玩。式子兩邊同時(shí)除以ww ww：f(w)w=df(w)dwf(w)w=df(w)dw dfrac{f(w)}{w}=dfrac{d f(w)}{dw}wf(w)?=dwdf(w)?
看看左邊右邊分別是什么？
- 左邊：f(w)f(w) f(w)f(w)上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的直線的斜率；
- 右邊：曲線f(w)f(w) f(w)f(w)上任意一點(diǎn)切線的斜率。
兩個(gè)斜率一致的時(shí)候，ww ww取值計(jì)算的EE EE是最優(yōu)的，即 曲線f(w)f(w) f(w)f(w)上任意一點(diǎn)PP PP和原點(diǎn)之間的直線與該點(diǎn)的切線共線！ 的時(shí)候，該點(diǎn)PP PP的ww ww和tt tt的取值為最優(yōu)！
形象地看，我們可以通過(guò) 操作 來(lái)獲取最優(yōu)的點(diǎn)，即：從經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的t=0這條直線開始，任其繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，第一次切到曲線f(w)f(w) f(w)f(w)的那個(gè)點(diǎn)，就是最優(yōu)點(diǎn)。
很簡(jiǎn)單，是吧。
現(xiàn)在已經(jīng)定性地把問題解決了，無(wú)論曲線t=f(w)t=f(w) t=f(w)t=f(w)長(zhǎng)什么樣子，我們可以從上述的操作步驟中獲取最優(yōu)的PP PP點(diǎn)，進(jìn)而求出Inflight值，最終確定Cwnd。
然而，這并不能定量地分析，如果要定量地分析，則必須要有t=f(w)t=f(w) t=f(w)t=f(w)的表達(dá)式。
這個(gè)表達(dá)式何來(lái)？我花了好長(zhǎng)時(shí)間也沒有思路。
再仔細(xì)看看帶寬和RTT之間的關(guān)系，在固定的帶寬下，RTT受到Inflight的影響，然而Inflight正是我們要求解的，這貌似進(jìn)入了一個(gè)循環(huán)，消除Inflight變量并無(wú)法確定二者的關(guān)系，這便是陷入了兩難！
…
我略過(guò)了好多文字，這些文字描述了大概將近一個(gè)月的見聞，然后我就想到了 排隊(duì)論， 排隊(duì)論， 排隊(duì)論， 排隊(duì)論， 排隊(duì)論！
排隊(duì)論基于概率理論給出精確的逗留時(shí)長(zhǎng)和到達(dá)率以及服務(wù)率之間的關(guān)系。
排隊(duì)論是一個(gè)復(fù)雜的理論，能寫幾大部頭都寫不完，我自己也只是略懂一二，并不是專門研究這個(gè)的，所以本著解決手頭當(dāng)前問題的廣度優(yōu)先原則，下面我依據(jù)排隊(duì)論的一些結(jié)論性的公式進(jìn)行推導(dǎo)，關(guān)于這個(gè)公式的推導(dǎo)，我會(huì)在本文后面給出一個(gè)附錄。
我們依然根據(jù)最簡(jiǎn)單的情況建立模型，即經(jīng)典的M/M/1排隊(duì)模型下的場(chǎng)景，在該場(chǎng)景下，先設(shè)以下的變量：
- 到達(dá)率：λλ lambdaλ
- 服務(wù)率：μμ muμ
- 系統(tǒng)負(fù)荷水平：ρρ rhoρ
- 用戶停留時(shí)間：WsWs W_sWs?
然后，有一些用到的定義以及公式，我們根據(jù)這些公式來(lái)進(jìn)行后續(xù)的關(guān)于BBR最優(yōu)化的證明。需要聲明的是，M/M/1排隊(duì)模型是一個(gè)簡(jiǎn)化的模型，并不代表現(xiàn)網(wǎng)中運(yùn)行BBR算法的TCP傳輸發(fā)包特征就一定符合這個(gè)模型，但這是一個(gè)很好的開始。
這些結(jié)論性的定義和公式如下：
- 系統(tǒng)負(fù)荷水平
ρ=λμρ=λμ rho=dfrac{lambda}{mu}ρ=μλ? - 用戶停留時(shí)間(包括排隊(duì)時(shí)間和被服務(wù)的時(shí)間)
Ws=1μ−λWs=1μ−λ W_s=dfrac{1}{mu-lambda}Ws?=μ−λ1? - 當(dāng)前系統(tǒng)中用戶數(shù)(包括排隊(duì)的和正在被服務(wù)的)
Ls=λμ−λLs=λμ−λ L_s=dfrac{lambda}{mu-lambda}Ls?=μ−λλ? - 排隊(duì)等待時(shí)間
Wg=λμ×(μ−λ)Wg=λμ×(μ−λ) W_g=dfrac{lambda}{mu times (mu-lambda)}Wg?=μ×(μ−λ)λ? - …
有了這些，便可以建立BBR的模型了。
在一個(gè)帶寬固定的網(wǎng)絡(luò)中，我們假設(shè)帶寬為CC CC(基于這種固定帶寬的假設(shè)，實(shí)際上這是M/D/1排隊(duì)模型，但是推導(dǎo)過(guò)程并無(wú)傷大雅！)，而我們發(fā)送的帶寬可以理解為 到達(dá)率， 即λλ lambdaλ，此時(shí)我們可以把WsWs W_sWs?等效于RTT，因此RTT和帶寬的關(guān)系則為：
RTT=f(λ)=Ws=1μ−λ=1C−λRTT=f(λ)=Ws=1μ−λ=1C−λ RTT=f(lambda)=W_s=dfrac{1}{mu-lambda}=dfrac{1}{C-lambda}RTT=f(λ)=Ws?=μ−λ1?=C−λ1?
根據(jù)我們上面的那個(gè)最優(yōu)解公式：
f(λ)=λ×df(λ)dλf(λ)=λ×df(λ)dλ f(lambda)=lambda times dfrac{d f(lambda)}{d lambda}f(λ)=λ×dλdf(λ)?
帶入則有：
f(λ)=λ×df(λ)dλ=1C−λf(λ)=λ×df(λ)dλ=1C−λ f(lambda)=lambdatimes dfrac{d f(lambda)}{d lambda}=dfrac{1}{C-lambda}f(λ)=λ×dλdf(λ)?=C−λ1?
而這里的df(λ)dλdf(λ)dλ dfrac{d f(lambda)}{dlambda}dλdf(λ)?則可以對(duì)f(λ)f(λ) f(lambda)f(λ)簡(jiǎn)單求導(dǎo)：
df(λ)dλ=1(C−λ)2df(λ)dλ=1(C−λ)2 dfrac{d f(lambda)}{dlambda}=dfrac{1}{(C-lambda)^2}dλdf(λ)?=(C−λ)21?
代入則有了結(jié)論：
λ(C−λ)2=1C−λλ(C−λ)2=1C−λ dfrac{lambda}{(C-lambda)^2}=dfrac{1}{C-lambda}(C−λ)2λ?=C−λ1?λ=C−λλ=C−λ lambda=C-lambdaλ=C−λλ=C2λ=C2 lambda=dfrac{C}{2}λ=2C?
最終，我們發(fā)現(xiàn)了最有點(diǎn)PP PP，即：
P(C2,2C)P(C2,2C) P(dfrac{C}{2},dfrac{2}{C})P(2C?,C2?)
這個(gè)結(jié)論有什么用呢？它意味著什么呢？
我們?cè)賮?lái)看M/M/1模型中的另外一個(gè)公式，即計(jì)算當(dāng)前系統(tǒng)的用戶數(shù)：
Ls=λμ−λ=C2C−C2=1Ls=λμ−λ=C2C−C2=1 L_s=dfrac{lambda}{mu-lambda}=dfrac{dfrac{C}{2}}{C-dfrac{C}{2}}=1Ls?=μ−λλ?=C−2C?2C??=1
這意味著系統(tǒng)中只有一個(gè)用戶，這意味著沒有排隊(duì)?。∵@意味著最優(yōu)的情況，即EE EE最大的時(shí)候，系統(tǒng)是沒有隊(duì)列堆積的！這個(gè)時(shí)候，我們來(lái)計(jì)算一下BDP：
BDP=λ×f(λ)=C2×2C=1BDP=λ×f(λ)=C2×2C=1 BDP=lambdatimes f(lambda)=dfrac{C}{2}times dfrac{2}{C}=1BDP=λ×f(λ)=2C?×C2?=1
正解于天下！這也是我在這方面工作的一個(gè)里程碑，現(xiàn)在總結(jié)一下就是：在M/M/1排隊(duì)模型的假設(shè)下，BBR擁塞控制算法是效能E最優(yōu)的。
然而，M/M/1模型只是一個(gè)開始，事實(shí)上，基于端到端的TCP協(xié)議，在鏈路上會(huì)經(jīng)過(guò)非常多的中間節(jié)點(diǎn)，即，至少起碼的，我們也要在M/M/k排隊(duì)模型上再次證明上述結(jié)論的正確性才行。
而這是簡(jiǎn)單的。
我們假設(shè)一個(gè)端到端的鏈路上有kk kk個(gè)中間節(jié)點(diǎn)，那么每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都遵循M/M/1排隊(duì)模型的法則，綜合起來(lái)就是M/M/k了，我們假設(shè)這些節(jié)點(diǎn)的處理能力并不相同，并假設(shè)其中有一個(gè)能力最弱的節(jié)點(diǎn)m，其處理能力μmμm mu_mμm?，在排隊(duì)論模型中，只要有排隊(duì)現(xiàn)象，就會(huì)增加時(shí)延而降低效能E，所以為了不排隊(duì)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的到達(dá)率均要滿足：λk≤μm2λk≤μm2 lambda_k le dfrac{mu_m}{2}λk?≤2μm??，所以最終的系統(tǒng)中的用戶數(shù)是要小于kk kk的，這就是說(shuō)，系統(tǒng)的吞吐是由最弱的節(jié)點(diǎn)決定的這個(gè)典型的漏桶理論。
我們來(lái)看BBR的名稱，Bottleneck Bandwidth and RTT，其中以 Bottleneck Bandwidth為M/M/k排隊(duì)模型的依據(jù)保證了RTT不會(huì)因?yàn)榕抨?duì)引入的延遲而增加。
換句話說(shuō)，BBR擁塞控制算法告訴你，別發(fā)太多包，超過(guò)Bottleneck Bandwidth的限額，你多發(fā)了也過(guò)不去，還平添時(shí)延，因?yàn)橐呀?jīng)偏離了最優(yōu)的操作點(diǎn)！
算法是OK的，代表了一種正確的方法，退一步，至少可以說(shuō)是一種引向正確方法的趨勢(shì)。然而在實(shí)現(xiàn)上，它的根基在于 測(cè)量的準(zhǔn)確性。算法實(shí)現(xiàn)的具體實(shí)施過(guò)程中，TCP協(xié)議固有的不可測(cè)量性是最大的掣肘，而這是TCP的固有缺陷所導(dǎo)致，永遠(yuǎn)也無(wú)法被解決！
那么QUIC的實(shí)現(xiàn)呢？我準(zhǔn)備花大力氣測(cè)測(cè)看。
在很早之前介紹BBR算法的文章中，我提到了 帶寬和RTT互為正交 的概念：google’s BBR擁塞控制算法模型解析：https://blog.csdn.net/dog250/article/details/52895080
現(xiàn)在我們可以基于本文上述的關(guān)于最優(yōu)化的結(jié)論再來(lái)理解這個(gè) 正交。
先從固定的D/D/1排隊(duì)模型看，我們?cè)倏碆W vs RTT圖：
我們可以看到最優(yōu)點(diǎn)PePe P_ePe?處，帶寬和RTT的乘積正好是矩形的面積，而它就是BDP，無(wú)論你在折線上怎么移動(dòng)PP PP點(diǎn)，你均無(wú)法獲得更大的矩形面積，往左移動(dòng)，面積減少，這意味著不夠，效能當(dāng)然低，往上移動(dòng)，面積不再增加，這說(shuō)明多發(fā)數(shù)據(jù)包也沒用，并不能增加有效BDP。
好完美的既視感！貌似打消了任何企圖通過(guò)多發(fā)包來(lái)提升性能的念頭，然而突然發(fā)現(xiàn)這只是理想D/D/1排隊(duì)模型下的結(jié)論。
稍微真實(shí)點(diǎn)的M/M/1排隊(duì)模型下，是這樣子的：
你會(huì)發(fā)現(xiàn)，在最優(yōu)化點(diǎn)附近，還是可以 通過(guò)比較小的RTT增加的代價(jià)，獲得更多有效BDP的。這似乎給了人們稍微增加一點(diǎn)Cwnd以理由和意義。黑暗壓下來(lái)的時(shí)候，總是留下一絲的光亮，沒有辦法。
通過(guò)相對(duì)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，我們發(fā)現(xiàn)BBR算法在BW vs RTT坐標(biāo)系的曲線上的操作點(diǎn)確實(shí)是最優(yōu)的，然而我們又從同樣一張圖的M/M/1表述中發(fā)現(xiàn)了一點(diǎn)可以利用的Trick…
不管怎么說(shuō)，不想排隊(duì)是為了自己，然而制造排隊(duì)則是毀了大家，你能控制的，僅僅是自己不排隊(duì)，這是個(gè)博弈，答案卻非常簡(jiǎn)單！
如此簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，展示了事實(shí)，那么，為什么路由器和交換機(jī)還要設(shè)計(jì)隊(duì)列緩存呢？
從商業(yè)的角度，如今的存儲(chǔ)設(shè)備越來(lái)越便宜，更多的緩存可以換取更多的 不丟包指標(biāo)，極低的代價(jià)換一個(gè)噱頭。
從工程的角度來(lái)看，隊(duì)列不僅僅是 為了緩存多出來(lái)的數(shù)據(jù)包，更多的是一種主動(dòng)式的管理設(shè)施，比如流量整形，按照不同的產(chǎn)品進(jìn)行限速，優(yōu)先級(jí)管理等等。
最后，從數(shù)學(xué)上看，假設(shè)數(shù)據(jù)包到達(dá)行為是泊松到達(dá)，其到達(dá)率期望是λλ lambdaλ，那么為了獲得最佳的效能，其服務(wù)率必然是2λ2λ 2lambda2λ，但是這些都是統(tǒng)計(jì)分布，到達(dá)率的期望只是一個(gè)均值，在可計(jì)算的概率下，到達(dá)率完全可以達(dá)到3λ3λ 3lambda3λ，4λ4λ 4lambda4λ…為了吸收這些統(tǒng)計(jì)峰值，則必須設(shè)計(jì)隊(duì)列緩存。
現(xiàn)在的問題是轉(zhuǎn)發(fā)節(jié)點(diǎn)設(shè)備上的緩存要設(shè)計(jì)多大？有了BW vs RTT這張圖，這是可以計(jì)算出來(lái)的！
我們依然假設(shè)這個(gè)模型是簡(jiǎn)單的M/M/1排隊(duì)模型。我將D/D/1模型和M/M/1模型放在一張圖里解釋：
虛線和橘黃色真實(shí)的實(shí)線圍成部分的面積就是節(jié)點(diǎn)需要的緩存的大小(事實(shí)上要稍微大一點(diǎn)，畢竟這里的RTT也是均值)，因?yàn)樗诓此傻竭_(dá)的正常波動(dòng)范圍內(nèi)。
此外根據(jù)本文上面的推論，當(dāng)λ=μ2λ=μ2 lambda=dfrac{mu}{2}λ=2μ?的時(shí)候，系統(tǒng)的效能E最大，在上圖中，這也是可以解釋的：
其中藍(lán)線圍成的區(qū)域面積為 最佳的BDP，這個(gè)是和D/D/1模型不同的。
由于泊松到達(dá)的統(tǒng)計(jì)效應(yīng)造成了不可避免的排隊(duì)和空轉(zhuǎn)，且二者不能抵消，因此必須設(shè)計(jì)緩存隊(duì)列，曲線相對(duì)t=1t=1 t=1t=1往上下凸了，因此從原點(diǎn)出發(fā)相切于t=f(λ)t=f(λ) t=f(lambda)t=f(λ)的切線肯定在λ=μλ=μ lambda=muλ=μ的左邊，這意味著相對(duì)于D/D/1模型，M/M/1模型在其它條件都相同的情況下，損失了一點(diǎn)Inflight！這是統(tǒng)計(jì)的不確定性帶來(lái)的不可消除的代價(jià)！
所以說(shuō)，在非主動(dòng)管理的意義上，隊(duì)列的作用是什么？隊(duì)列的作用是，平滑泊松到達(dá)的統(tǒng)計(jì)特性引發(fā)的突發(fā)。突發(fā)總是存在的，為了能容忍這些突發(fā)， 而不至于丟包。
從示意圖上看，即便是BBR，也是無(wú)法100%避免排隊(duì)的，這是泊松到達(dá)的統(tǒng)計(jì)特征決定的，即便單一服務(wù)節(jié)點(diǎn)的服務(wù)率μμ muμ是到達(dá)率λλ lambdaλ的1000倍(而不是計(jì)算出來(lái)的最優(yōu)值2倍)，也會(huì)有小概率的突發(fā)會(huì)造成輕微排隊(duì)。故而，隊(duì)列算是一個(gè)基礎(chǔ)設(shè)施，必不可少，但你要明白，隊(duì)列是用來(lái)干嘛的！
然而，還有一個(gè)話題，與統(tǒng)計(jì)突發(fā)概率相等的對(duì)稱的現(xiàn)象就是系統(tǒng)空轉(zhuǎn)，而空轉(zhuǎn)是無(wú)法彌補(bǔ)的，沒有任務(wù)到達(dá)，系統(tǒng)確實(shí)什么也做不了。因此，引入主動(dòng)隊(duì)列管理是必要的，上一時(shí)間周期來(lái)不及處理的任務(wù)通過(guò)緩存隊(duì)列推遲到下一個(gè)時(shí)間周期，填補(bǔ)空轉(zhuǎn)期，這方面，我覺得帶突發(fā)的令牌桶這個(gè)設(shè)計(jì)，簡(jiǎn)單又直接。
慢啟動(dòng)在BBR中仍然保留，它的意義是在不知道連接的瓶頸帶寬時(shí)，以起始較低的發(fā)送速率，以每RTT兩倍的速度快速增加發(fā)送速率，直到到達(dá)一個(gè)閾值，對(duì)應(yīng)上圖中0-4秒。到該閾值后，進(jìn)入線性提高發(fā)送速率的階段，該階段叫做擁塞避免，直到發(fā)生丟包，對(duì)應(yīng)上圖中8-11秒。丟包后，發(fā)速速率大幅下降，針對(duì)丟包使用快速重傳算法重送發(fā)送，同時(shí)也使用快速恢復(fù)算法把發(fā)送速率盡量平滑的升上來(lái)。
如果瓶頸路由器的緩存特別大，那么這種以丟包作為探測(cè)依據(jù)的擁塞算法將會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重問題：TCP鏈路上長(zhǎng)時(shí)間RTT變大，但吞吐量維持不變。
事實(shí)上，我們的傳輸速度在3個(gè)階段被不同的因素限制：
1、應(yīng)用程序限制階段，此時(shí)RTT不變，隨著應(yīng)用程序開始發(fā)送大文件，速率直線上升；
2、BDP限制階段，此時(shí)RTT開始不斷上升，但吞吐量不變，因?yàn)榇藭r(shí)瓶頸路由器已經(jīng)達(dá)到上限，緩沖隊(duì)列正在不斷增加；
3、瓶頸路由器緩沖隊(duì)列限制階段，此時(shí)開始大量丟包。
宏觀背景下的BBR
1980年代的擁塞崩潰導(dǎo)致了1980年代的擁塞控制機(jī)制的出爐，某種意義上這屬于見招拆招的策略，針對(duì)1980年代的擁塞，提出了1980年代的擁塞控制算法，即ss，ssthresh，congestion avoid這些。
說(shuō)實(shí)話，這些機(jī)制完美適應(yīng)了1980年代的網(wǎng)絡(luò)特征，低帶寬，淺緩存隊(duì)列，美好持續(xù)到了2000年代。
隨后互聯(lián)網(wǎng)大爆發(fā)，多媒體應(yīng)用特別是圖片，音視頻類的應(yīng)用促使帶寬必須猛增，而摩爾定律促使存儲(chǔ)設(shè)施趨于廉價(jià)而路由器隊(duì)列緩存猛增，這便是BBR誕生的背景。換句話說(shuō)，1980年代的CC已經(jīng)不適用了，2010年代需要另外的一次見招拆招。
如果說(shuō)上一次1980年代的CC旨在 收斂，那么這一次BBR則旨在 效能E最大化，這里的E就是本文上面大量篇幅描述的那個(gè)E，至少我個(gè)人是這么認(rèn)為的，這也和BBR的初衷 提高帶寬利用率 相一致！
