0x00 前言
邏輯回歸（Logistic Regression，LR）。在Kaggle競(jìng)賽的統(tǒng)計(jì)中，LR算法以63.5%的出產(chǎn)率，榮獲各領(lǐng)域中“出場(chǎng)率最高的算法”這一殊榮。在實(shí)際場(chǎng)景中，邏輯回歸同樣應(yīng)用廣泛，大到國(guó)家各項(xiàng)經(jīng)濟(jì)政策的制定，小到計(jì)算廣告CTR，都能看到LR算的身影。
除了應(yīng)用廣泛外，LR的建模過(guò)程還體現(xiàn)了數(shù)據(jù)建模中很重要的思想： 對(duì)問(wèn)題劃分層次，并利用非線(xiàn)性變換和線(xiàn)性模型的組合，將未知的復(fù)雜問(wèn)題分解為已知的簡(jiǎn)單問(wèn)題 。因此，我們可以說(shuō)：理解好邏輯回歸的細(xì)節(jié)，就掌握了數(shù)據(jù)建模的精髓。
0x01 什么是邏輯回歸
1.1 線(xiàn)性回歸能解決分類(lèi)問(wèn)題么？
其實(shí)，線(xiàn)性回歸是不能解決分類(lèi)問(wèn)題的。因?yàn)槲覀冊(cè)谑褂镁€(xiàn)性回歸模型時(shí)，我們實(shí)際上做了3個(gè)假設(shè)（實(shí)際上有更多的假設(shè)，這里只討論最基本的三個(gè)）：
- 因變量和自變量之間呈線(xiàn)性相關(guān)。
- 自變量與干擾項(xiàng)相互獨(dú)立。
- 沒(méi)被線(xiàn)性模型捕捉到的隨機(jī)因素服從正態(tài)分布。
從理論上來(lái)說(shuō)，任何數(shù)據(jù)放在任何模型里都會(huì)得到相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)，進(jìn)而通過(guò)模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。但是這并不一定能保證模型效果，有時(shí)會(huì)得到“錯(cuò)且無(wú)用”的模型，因此建模的過(guò)程中需要不斷提出假設(shè)和檢驗(yàn)假設(shè)。
1.2 用邏輯回歸解決分類(lèi)問(wèn)題
有些算法，表面上叫“XX回歸”，背地里卻是解決分類(lèi)問(wèn)題的。
其原理是將 樣本的特征 和 樣本發(fā)生的概率 聯(lián)系起來(lái)，即， 預(yù)測(cè)的是樣本發(fā)生的概率是多少。由于概率是一個(gè)數(shù)，因此被叫做“邏輯回歸”。
在線(xiàn)性回歸算法的例子中，我們進(jìn)行房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)得到的結(jié)果值，就是我們預(yù)測(cè)的房?jī)r(jià)，是一個(gè)數(shù)值。
但是我們?cè)谶壿嫽貧w算法中，得到的預(yù)測(cè)值是一個(gè)概率，然后在概率的基礎(chǔ)上多做一步操作，得到分類(lèi)的結(jié)果。比如某銀行使用邏輯回歸做風(fēng)控模型，先設(shè)置一個(gè)閾值0.5，如果得到它逾期的概率大于0.5，就不放款；否則就放款。對(duì)于“放款” or “不放款”來(lái)說(shuō)，實(shí)際上是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的分類(lèi)問(wèn)題。
通過(guò)這個(gè)小例子我們可以看到， 在回歸問(wèn)題上再多做一步，就可以作為分類(lèi)算法來(lái)使用了。邏輯回歸只能解決二分類(lèi)問(wèn)題，如果是多分類(lèi)問(wèn)題，LR本身是不支持的。
對(duì)于線(xiàn)性回歸來(lái)說(shuō)，通過(guò)傳遞的自變量x來(lái)計(jì)算預(yù)測(cè)值：。其中實(shí)際上就是參數(shù)與樣本的矩陣相乘，。那我們可不可以找到一組參數(shù)，與特征矩陣相乘，直接得到表示概率的結(jié)果呢？
單單從應(yīng)用的角度來(lái)說(shuō)，是可以的，但是并不好。這是因?yàn)?線(xiàn)性回歸得到值是沒(méi)有限制的，值域從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的值。而對(duì)于概率來(lái)說(shuō)，其值域?yàn)閇0,1]，是有限制的。如果直接使用線(xiàn)性回歸得到的結(jié)果，使得最終擬合的結(jié)果可信程度較差。
那么下面我們就看一看，邏輯回歸背后的數(shù)學(xué)原理。
0x02 LR算法數(shù)學(xué)推導(dǎo)
2.1 決策背后的博弈
邏輯回歸使用什么樣的方式來(lái)得到一個(gè)事件發(fā)生的概率值的呢？分類(lèi)的背后又是什么呢？
以銀行理財(cái)產(chǎn)品營(yíng)銷(xiāo)場(chǎng)景為例，對(duì)于銀行來(lái)說(shuō)，客戶(hù)只有“買(mǎi)”和“不買(mǎi)”兩種行為，但是這個(gè)行為實(shí)際上是客戶(hù)在接到營(yíng)銷(xiāo)行為，如電話(huà)營(yíng)銷(xiāo)、短信營(yíng)銷(xiāo)之后，經(jīng)過(guò)內(nèi)心博弈產(chǎn)生的最終結(jié)果。
客戶(hù)為什么會(huì)做出“買(mǎi)”或“不買(mǎi)”這樣的被分類(lèi)的行為？如果客戶(hù)手里有一筆暫時(shí)不會(huì)動(dòng)用的閑錢(qián)，且他希望能夠通過(guò)投資行為獲利，并且對(duì)盈利效果表示認(rèn)可，則客戶(hù)會(huì)考慮購(gòu)買(mǎi)理財(cái)產(chǎn)品。但是反過(guò)來(lái)，如果客戶(hù)沒(méi)有錢(qián)，或者他有其他更好的投資渠道，或者厭惡投資風(fēng)險(xiǎn)，那么客戶(hù)就不會(huì)購(gòu)買(mǎi)。從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，購(gòu)買(mǎi)理財(cái)產(chǎn)品這一行為，既能給客戶(hù)帶來(lái)正效用，也能給客戶(hù)帶來(lái)負(fù)效用。 當(dāng)客戶(hù)主觀認(rèn)為正效用大于負(fù)效用時(shí)，可就是購(gòu)買(mǎi)行為帶來(lái)的整體效用大于0時(shí)，客戶(hù)就會(huì)購(gòu)買(mǎi)，反之則不然 。
2.2 博弈中的隱含變量
那么我們從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，分析上述場(chǎng)景：假設(shè)有自變量集合，這些參數(shù)表示這種特征，決定購(gòu)買(mǎi)行為對(duì)客戶(hù)的效用，包括正效用和負(fù)效用。我們將客戶(hù)的購(gòu)買(mǎi)行為記為y，其中y=1表示客戶(hù)購(gòu)買(mǎi)理財(cái)產(chǎn)品；y=0表示客戶(hù)沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)。于是可以得到下面的公式：
如果，我們 假設(shè)正負(fù)效用函數(shù)與自變量特征參數(shù)成線(xiàn)性相關(guān) ，則根據(jù)可以得出：。其中是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從正態(tài)分布。
在得到正負(fù)效用線(xiàn)性函數(shù)之后，就可以 用正效用減去負(fù)效用的解是否大于0作為分類(lèi)依據(jù) 。令，則可以得到：。如果我們將其轉(zhuǎn)換為分類(lèi)問(wèn)題，則可以得到階梯函數(shù)如下：
更進(jìn)一步，我們將上面的函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟾怕剩纯蛻?hù)購(gòu)買(mǎi)理財(cái)產(chǎn)品的概率如下：
其中， 是隨機(jī)變量的累積分布函數(shù) ，表示客戶(hù)購(gòu)買(mǎi)的比例。
這個(gè)模型在學(xué)術(shù)上被稱(chēng)作是 probit回歸 （雖然是名字中有“回歸”兩個(gè)字，但是實(shí)際上解決的還是分類(lèi)問(wèn)題）。
在模型搭建的過(guò)程中，我們假設(shè)了客戶(hù)內(nèi)心博弈的正負(fù)效用變量：，因此這類(lèi)隱藏變量模型（latent variable model）;而正負(fù)效用變量：被稱(chēng)為隱藏變量（latent variable）。
由此可見(jiàn)， 對(duì)于一個(gè)分類(lèi)問(wèn)題，由于“窗口效用”，我們只能看見(jiàn)客戶(hù)的購(gòu)買(mǎi)行為，但是在分類(lèi)的背后，是隱藏變量之間的博弈，我們通過(guò)搭建隱藏變量的模型，來(lái)求出客戶(hù)購(gòu)買(mǎi)的概率 。
2.3 sigmoid函數(shù)與邏輯回歸
在上一節(jié)我們得到了probit回歸在數(shù)學(xué)上是比較完美的，但是正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，其表達(dá)形式很復(fù)雜（復(fù)雜到懶得把公式寫(xiě)出來(lái)），且沒(méi)有解析表達(dá)式。因此直接在probit回歸上做參數(shù)估計(jì)是比較困難的。但是好在我們可以對(duì)其做近似，讓其在數(shù)學(xué)上更加簡(jiǎn)潔。
此時(shí)，神奇的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)：正態(tài)分布在線(xiàn)性變換下保持穩(wěn)定，而邏輯分布可以很好地近似正態(tài)分布。因此可以使用標(biāo)準(zhǔn)邏輯分布的累積分布函數(shù)來(lái)替換正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。
標(biāo)準(zhǔn)邏輯分布的概率密度函數(shù)為，對(duì)應(yīng)的積累分布函數(shù)為：
在學(xué)術(shù)界被稱(chēng)為sigmoid函數(shù)，是在數(shù)據(jù)科學(xué)領(lǐng)域，特別是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域中非常重要的函數(shù)！。其圖像如下圖所示，呈S狀，因此也被稱(chēng)為“S函數(shù)”。當(dāng)t趨近于正無(wú)窮時(shí)，趨近于0，則趨近于1；當(dāng)t趨近于負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨近于正無(wú)窮，則趨近于0。因此該函數(shù)的值域?yàn)?0,1)。
兩種不同的效用函數(shù)（假定他們都滿(mǎn)足線(xiàn)性回歸模型的假設(shè)）相互競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，其中某一方最終勝出的概率分布在數(shù)學(xué)上可近似為sigmoid函數(shù)。通俗講：sigmoid函數(shù)表述了某一方競(jìng)爭(zhēng)勝出的概率。
將效用函數(shù)之差（同樣是線(xiàn)性回歸模型）帶入sigmoid函數(shù)中，當(dāng)t>0時(shí)，得到的結(jié)果是概率值p>0.5;當(dāng)t<0時(shí)，得到的結(jié)果是p<0.5。因此，實(shí)際上我們得到是這樣的公式：
至此，大名鼎鼎的邏輯回歸模型（logit regression）如下,其中表示客戶(hù)特征，表示模型參數(shù)：
0xFF 總結(jié)
在本篇文章中，我們學(xué)習(xí)了邏輯回歸的算法模型。
首先，邏輯回歸是解決分類(lèi)問(wèn)題的，本質(zhì)是求概率再分類(lèi)。在分類(lèi)結(jié)果的背后是隱藏變量的博弈，我們認(rèn)為隱藏變量與特征是線(xiàn)性相關(guān)的，因此就可以對(duì)隱藏變量之差求概率（得到隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)），得到probit回歸模型。為了使數(shù)學(xué)公式更為簡(jiǎn)單，使用sigmoid函數(shù)去近似，最終得到邏輯回歸模型：
根據(jù)建模過(guò)程，我們已經(jīng)得到了邏輯回歸模型，下一步就是找到損失函數(shù)，去盡可能地?cái)M合數(shù)據(jù)。
那么對(duì)于給定的樣本數(shù)據(jù)集X，y，我們?nèi)绾握业揭唤M參數(shù)，使得用這樣的方式，可以最大程度獲得樣本數(shù)據(jù)集X對(duì)應(yīng)的分類(lèi)輸出y？
