偉大的發(fā)現(xiàn)會成為未來的常識。
01
微積分的本質(zhì)
“微積分的基本定理”是微積分的重要知識。打比方來說，這 就相當(dāng)于金槍魚中珍貴的魚腩部分。高中的教科書里一般都會涉及 這方面的內(nèi)容，比如“微分和積分互為逆運(yùn)算”等。
這個表述確實(shí)沒有錯誤。如果說是否正確，那當(dāng)然是對的。
“微分和積分互為逆運(yùn)算”這句話表述有些過于簡潔，它具體的意思是什么呢？我非常希望大家能理解其本質(zhì)。
大家是否曾覺得圓和球是相似的東西？關(guān)于圓和球存在以下 表述：
（1）“圓的面積”的微分就是“圓的周長”；
（2）“球的體積”的微分就是“球的表面積”。這些表述有些讓人摸不著頭腦，果真如此嗎？
（1）半徑為r的圓的面積是
對r微分后得出
這與半徑為r的圓周長完全一樣。
（2）半徑為r的球的體積是
對r微分后得出
這是半徑為r的球的表面積。
（1）設(shè)半徑為r的圓（圓板）的面積是關(guān)于r的函數(shù)：
依照我們的老辦法，現(xiàn)在思考“圓的半徑增加Δr 時，面積會 增加多少”。
請觀察圖 95 中的大圓。圓的半徑增加Δr時，哪里會增加呢？增加的部分是薄圓環(huán)。這個環(huán)狀面積大致可以表示為：
圓的周長×Δr
即面積增加的部分（ΔS）為
ΔS ≈圓的周長×Δr
在這里，出現(xiàn)了一個符號“約等于”（≈）。因?yàn)橥鈧?cè)圓的周長 稍微比內(nèi)側(cè)圓的周長大一些。雖說有必要使用約等于號，但是總會 讓人覺得不嚴(yán)謹(jǐn)。如果可以的話，還是盡可能轉(zhuǎn)化為等號。
因此，首先將式子的兩邊除以Δr，因?yàn)?/p>
取Δ 0 r → 時
的極限。這樣一來，去掉“約”，即為
所以“圓的面積”的微分=“圓的周長”成立。
（2）我們用和（1）相同的思路來思考 “球的體積”的微分 = “球的表面積”。
半徑為r的球的體積為
與圓的情況一樣，我們來思考“球的半徑增加Δr時，體積會增加 多少”。
根據(jù)圖 96 可知，體積增加的部分是球外側(cè)很薄的那一部分皮。假設(shè)球?yàn)槠古仪颍梢哉f增加的部分是用賽璐珞做成的部分（乒乓 球本身）。為了便于觀察，圖 96 中的球體增加了較為夸張的厚度。這層薄皮的體積大致為
球的表面積×Δr
也就是說，體積增加的部分ΔV為
和圓的做法一樣，兩邊除以Δr，取Δ 0 r → 時
的極限，得到
與剛剛的“圓的面積”的微分是“圓的周長”同理，可知“球 的體積”的微分=“球的表面積”成立。
根據(jù)以上證明可知，本節(jié)開篇所講（1）、（2）雖然讓人覺得不 可思議，但確實(shí)都是成立的。
實(shí)際上，這個關(guān)系就是“微積分的基本定理”。但是這其實(shí)是從不同的角度 講解了相同的內(nèi)容。詳細(xì)來說即為以下內(nèi)容。
第一，我們可以認(rèn)為“圓面積的微分”最終就是（在使Δr 趨向于 0 的極限情況下）把圓分割成薄圓環(huán)狀。也就是說，粗略來講 的話，微分就是從圓板上多個同心圓之間排列的薄圓環(huán)中，取出 1 個薄圓環(huán)。另一方面，積分則是累加極薄圓環(huán)的面積從而求出圓的 面積（圖 97）。
圓環(huán)的面積（≈ L( r)Δ r）等于圓的周長乘以Δr，累加所有圓環(huán) 面積就是圓的面積。所以圓的面積等于
即
成立。將式子兩邊除以2π，得出
第二，關(guān)于球的內(nèi)容，累加“表面積×Δr ”，就能求出球整體 的體積。所以
成立。
將式子兩邊除以4π，得出
把微分公式
代入，得出積分公式
即“分割”成較小部分的操作是微分，相反，“累加”較小部分的 操作是積分（圖 98）。
微分和積分就像硬幣的正反面，是完全相反的關(guān)系。
02
基本定理的使用方法
真正理解了“微積分的基本定理”，就會覺得這東西并不復(fù)雜。但是，這個定理的厲害之處在于應(yīng)用范圍很廣。雖然看起來很普 通，但是很實(shí)用。
比如說“冪函數(shù)的微分公式”是
我們以此來嘗試推導(dǎo)“冪函數(shù)的積分公式”。
根據(jù)微積分的基本定理可知，冪函數(shù)的微分公式的意思可以用 圖 99 來表示。
即冪函數(shù)的微分公式的意思是：
改變α的值就可以不斷列舉出：
把這些式子（也可以說是句子）依次分別除以 3、4，可以 得出：
積分式子即使無限地寫下去，其意思也十分簡單。
也就是說，一般“指數(shù)增加 1”后寫在分母和x的右上角，即
但是，有一點(diǎn)必須要注意。
實(shí)際上到目前為止，我們使用“積分”這個詞時，意思是有 些不清晰的。比如說，在剛剛解釋的冪函數(shù)中，微分
可以得到
但是，還存在其他函數(shù)，其微分結(jié)果也為
這里，我們漏掉 了微分得 0 的函數(shù)。問題就在于此。即如果將
微分的話，其結(jié)果也得
“微分得 0 的函數(shù)”也就是“沒有變化的函數(shù)”，這種函數(shù)叫作 “常數(shù)函數(shù)”。常數(shù)函數(shù)的斜率為 0，即對于任何 x 值函數(shù)的結(jié)果都 相同。設(shè)常數(shù)函數(shù)值為C，則可以寫成
如圖 100 所示，常數(shù)函數(shù)的函數(shù)值沒有變化。其中的常數(shù)C，可以 是 100，可以是 -50，也可以是 10 萬億。重要的是C“沒有變化”， 而不是數(shù)值本身是大是小。
這是冪函數(shù)的積分公式。
對f( x) 的微分進(jìn)行積分得出的函數(shù)，叫作“f ( x) 的原函數(shù)”， 寫作F ( x)，即
原函數(shù)中始終存在“一項(xiàng)不定數(shù)值 C（不定項(xiàng)）”。在這里，“通過 積分求出原函數(shù)”，這叫作不定積分。相反，像之前提到求取面積 或者體積的積分，叫作定積分。不定積分和定積分不同，原則上不 寫“從哪里到哪里的積分”。
多出的這個 C，就像多余的裝飾品讓人無法平靜，不過可以不 用在意。因?yàn)樵谟?jì)算面積等問題時，C 就會消失。
例如，圖 101 中灰色部分的面積，用定積分符號表示的話， 寫作
這個定積分的值為
這里有一條向右上方傾斜 45°的直線y x = 。
從x =1到x = 2之 間的面積是多少（圖 102）？
因?yàn)榛疑糠质翘菪危钥梢杂茫ㄉ系?nbsp;+下底） ×高 ÷ 2 的 公式計(jì)算面積。 圖中的梯形往左邊傾倒，上底的值為x =1時y的值， y = x=1。 下底也一樣，為x = 2時y的值，y = x= 2。 高是2 − 1= 1，所以面積是
另一方面，使用積分公式可得
這與梯形面積公式計(jì)算出來的結(jié)果完全相等。
下面，我們來看拋物線的例子。
圖 103 是拋物線部分圖像。計(jì)算從x =1 到x = 2 的面 積。這次的圖無法再使用“梯形面積公式”，所以只能使用積分。
套用積分公式得出
看，一瞬間就可以得出答案。沒有積分似乎很難計(jì)算出來。不得不 說，積分真是太厲害了。
順便說一下，前文說到圓的面積、球的表面積時出現(xiàn)了公式
這里只是把x換成了r，是冪函數(shù)的積分公式的特殊情況（分別為β =1、β = 2）。
03
近似和忽略
微積分的本質(zhì)在于近似與忽略。近似指的是忽 略一些東西，只給出大概的答案。
即使是復(fù)雜的形狀，也可以將其視為簡單長方形的組合（積 分），函數(shù)在局部可以視為切線或者拋物線（微分），這個思考角度 才是微積分的要領(lǐng)。
重要的是不要在意細(xì)節(jié)。不在意細(xì)小的部分，“用直線段近似 函數(shù)圖像”就可以搞清楚容積最大的冰激凌蛋卷筒是什么形狀，也可以“把曲線看作折線的組合”來計(jì)算懸鏈線的長度。雖然整體計(jì)算很難，但分成較小的部分就會變成簡單的累加。這就是微積分厲害之處。
實(shí)際上，這種思想并不僅限于微積分，可以說整個數(shù)學(xué)都是這樣的。微積分則是了解該方法有效性的最好素材。
實(shí)際上，我們居住的現(xiàn)實(shí)世界中，近似可以說是無處不在。比如，不存在無限小的東西（無法比基本粒子更小），宇宙也并非無限廣闊。
但是，在實(shí)際的微積分中，要考慮無限小的量，或者無限大的空間，這是近似。忽略基本粒子的大小，擱置宇宙的邊界限制，這種想法或許與事實(shí)相悖，但是這種方法給我們帶來的恩惠卻不可估量。
微分積分的內(nèi)容是從細(xì)致分割圖形開始講起的，之后又講到自然常數(shù)e，最后又到懸鏈線的長度。讀到這里，大家是不是已經(jīng)自然而然地認(rèn)可“近似和忽略”的思考方法呢？如果是的話，那么這就是很大的進(jìn)步了。
《簡單微積分：學(xué)校未教過的超簡易》
作者：[日]神永正博
譯者：李慧慧
僅用“閱讀”就能理解微積分原理，無須背誦公式、煩瑣計(jì)算，傳授日本微積分入門的“巧妙思路”。
書為微積分入門科普讀物，書中以微積分的“思考方法”為核心，以生活例子通俗講解了微積分的基本原理、公式推導(dǎo)以及實(shí)際應(yīng)用意義，解答了微積分初學(xué)者遭遇的常見困惑。
《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》
作者：鄧納姆
譯者：李伯民 汪軍 張懷勇
本書榮獲“第七屆文津圖書獎推薦書目”。
這不是一本數(shù)學(xué)家的傳記，而是一座展示微積分宏偉畫卷的陳列室。書中的每一個結(jié)果，從牛頓的正弦函數(shù)的推導(dǎo)，到伽瑪函數(shù)的表示，再到貝爾的分類定理，無一不處于各個時代的研究前沿，至今還閃爍著耀眼奪目的光芒。
《普林斯頓微積分讀本（修訂版）》
《普林斯頓數(shù)學(xué)分析讀本》
《普林斯頓概率論讀本》
作者：[美] 史蒂文·J. 米勒、拉菲·格林貝格、史蒂文·J. 米勒
譯者：李馨
風(fēng)靡美國普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)課程讀本，教你怎樣在數(shù)學(xué)考試中獲得高分，用大量例子和代碼全面探討數(shù)學(xué)問題提供課程視頻和講義。被譽(yù)為“普林斯頓讀本”三劍客。
《微積分溯源：偉大思想的歷程》
作者：戴維·M. 布雷蘇
譯者：陳見柯 林開亮 葉盧慶
從古希臘、古埃及、古印度、中國和歐洲等地的微積分思想，到牛頓、萊布尼茨、伯努利兄弟、黎曼等偉大數(shù)學(xué)家的輝煌成就，看一看微積分這座“數(shù)學(xué)寶藏”是如何被塑造成今天的模樣的。
