有高中學生經常問我們物理老師:為什么行星繞太陽運動的軌道是橢圓？是圓不更香嗎？嘿嘿，這個問題不說高中學生，我們作為老師都整不明白。作為一種學習，我在這篇文章里來詳解這個為什么。
開普勒三大定律是德國天文學家開普勒提出的關于行星運動的三大定律。第一和第二定律發表于1609年，是開普勒從天文學家第谷觀測火星位置所得資料中總結出來的；第三定律發表于1619年。這三大定律又分別稱為橢圓定律、面積定律和調和定律。
開普勒定律
①橢圓定律：所有行星繞太陽的軌道都是橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。
②面積定律：行星和太陽的連線在相等的時間間隔內掃過的面積相等。
③調和定律：所有行星繞太陽一周的時間(即周期)的平方與它們軌道半長軸的立方成正比。
此后，學者們把第一定律修改成為：所有行星（和彗星）的軌道都屬于圓錐曲線，而太陽則在它們的一個焦點上。第二定律只在行星質量比太陽質量小得多的情況下才是精確的。如果考慮到行星也吸引太陽，這便是一個二體問題。第三定律也有修正。
太陽系示意圖(俯視)
首先我們復習一下矢量的微分和求導。如下圖。
質點在極短時間dt內從P點運動到Q點，其極角也從θ轉到θ+dθ，徑向單位矢量ⅰ和橫向單位矢量J也都轉過θ
從這張圖里我們可以推導出質點的加速度分解成的橫向加速度(垂直于極徑)和徑向加速度。為此我們先看看上圖中橫向單位矢量和徑向單位矢量對時間求導會得出什么。
可見，這其實就是兩個單位矢量的旋轉
然后我們使用高中學的加速度定義:加速度就是速度的變化率，即速度矢量的導數，位移(矢徑)矢量的二階導數。
我們都知道，地球所受到的太陽引力是徑向的，是始終指向太陽中心的，這就決定了兩件事:第一，上式中的徑向加速度只需乘上地球質量m就等于地球受到的引力，當然考慮二矢量的方向剛好相反要加上負號才相等。第二，橫向加速度(注意不是切向加速度，而是與矢徑垂直的方向上的加速度)始終等于零。
這第二項其實就是角動量守恒。可以這樣證明:
看懂這段始終要記住角速度ω等于極角θ對時間的一階導數，ω和θ的方向都是橫向的，描述矢徑轉動的。
接下來既然角動量守恒，那么行星軌跡必然為一個平面:
現在我們已經知道這個切向速度等于橫向速度的時刻其實就是近日點或遠日點
再次證明了行星公轉運動的角動量是不變的
接下來我們要想辦法求解前面寫出的徑向加速度的微分方程。
接下來就要將此式作為實質上的r關于t的微分方程換元成為r關于θ的微分方程，得出極坐標方程
