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此貼可以隨意轉載而不用注名出處。但也別說是你寫的就行。
在讀此文之前，讀者應該知道什么是行主，列主矩陣，寫過簡單的HLSL或者ASM SHADER
讀者知道簡單的矩陣運算規則
本文主要內容有：
一、部分背景內容
二、HLSL中的row-major matrix picking and column-major matrix picking
三、MUL規則
四、觀察矩陣的另類解釋和TBN空間的類推
五、HLSL中矩陣的構造（為什么WorldToTargentSpaceMatrix要左乘LightDir）
一、部分背景
既然是HLSL中的指令，那我們的所有標準就以D3D而來。換句話說，矩陣以如下方式存儲
１１ １２ １３ １４
２１ ２２ ２３ ２４
３１ ３２ ３３ ３４
４１ ４２ ４３ ４４
典型的世界矩陣如下
C1 C2 C3 C4
R1 １ ０ ０ ０
R2 ０ １ ０ ０
R3 ０ ０ １ ０
R4 ２０ ２０ ２０ １
這就是傳說中的行主矩陣（row-major matrix） 注：這里只說它的存儲方式，而不管他的運算符操作方法。
對于一個這樣的矩陣，我們給一個行向量（row vector） V(X,Y,Z,W)
那么，V*M為如下結果
X = X*11+Y*21+Z*31+W*41 （１）
Y = X*12+Y*22+Z*32+W*42 （２）
Z = X*13+Y*23+Z*33+W*43 （３）
W = X*14+Y*24+Z*34+W*44 （４）
看到上面的1,2,3,4四個運算，我們很自然想到了向量點乘（Dot Product）我們把三維向量的點乘簡稱dp3，四維的則叫dp4 那么有
dp3（V1，V2）= V1.x*V2.x+V1.y*V2.y+V1.z*V2.z
dp4（V1，V2）= V1.x*V2.x+V1.y*V2.y+V1.z*V2.z+V1.w*V2.w
于是，我們的向量V乘矩陣M就可以表示為
V.X = dp4（V，M[C1]）；
V.Y = dp4（V，M[C2]）；
V.Z = dp4（V，M[C3]）；
V.W = dp4（V,M[C4]）；
說了這么多，好像不是在說MUL指令，但其實這個MUL指令息息相關。
首先來看看Mul(x,y)指令的最基本的信息。
當X為向量時，X被視為行向量。
當Y為向量時，Y被視為列向量。
大家都知道，在HLSL中，如果我們采用Effect::SetMatrix進行矩陣的設置時，我們就可以采用如Mul（inPos，matWorldViewProj）來計算。 而如果是用普通的SetVertexConstantF等來設置矩陣數據的話，就需要用Mul（matWorldViewProj，inPos）來計算，或者用
Mul（inPos，matWorldViewProjTranspose）。
我想許多人都明白，那是因為在用SetMatrix時，HLSL會將矩陣進行轉置，進而成為一個列矩陣。自然，采用SetMatrix與不采用SetMatrix就不一樣了。
可是，我們之前不是說了么，行向量乘以行主矩陣才是 向量在左邊呀， 但現在一個是行向量，一個是列矩陣。 怎么就繞不過來了呢。
其實很容易繞過來，要知道MUL是我們（或者說叫他們）自己定義的，怎么實現難道還非得按照標準的線性代數規則來安排位置不成。用HLSL寫過SHADER的人都應該清楚下面這段代碼的含義。
float4x4 matViewProjection;
float4 vs_main(float4 Position : POSITION0) : POSITION0
{
return mul( Input.Position, matViewProjection );
}
//其對應的匯編代碼如下
// matViewProjection c0 4
//
vs_2_0
dcl_position v0
dp4 oPos.x, v0, c0
dp4 oPos.y, v0, c1
dp4 oPos.z, v0, c2
dp4 oPos.w, v0, c3
是不是覺得dp4很親切呢。對了，就是它。 這意思就是說，我們的c0,c1,c2,c3存放著我們先前講到的C1 C2 C3 C4。 這就是我們的背景內容，到此結束。 下面將展開一系列的為什么。
而如下的HLSL代碼
float4x4 matViewProjection;
float4 vs_main(float4 Position : POSITION0) : POSITION0
{
return mul(matViewProjection，Input.Position );
}
對應的ASM SHADER如下
mul r0, v0.y, c1
mad r0, c0, v0.x, r0
mad r0, c2, v0.z, r0
mad oPos, c3, v0.w, r0
由此可以看出 此時的C0－C3存放的是一個行矩陣。在此僅為證明 mul(向量，矩陣) 與 mul(矩陣，向量)不是一個東西。
二、HLSL中的row-major matrix picking and column-major matrix picking
HLSL在將矩陣賦值給常量寄存器的時候。有兩種方式，一種是每個常量寄存器存放一行的數據，另一種是每個常量寄存器存放著一列的數據。默認是按列選取（column-major matrix picking）。
假設有一個矩陣M，其存放位置是從C0寄存器開始。 那么如果我們按行選取（row-major picking）則有
C0 = 11 12 13 14
C1 = 21 22 23 24
C2 = 31 32 33 34
C3 = 41 42 43 44
如果我們按列選取（col-major picking）則有
C0 = 11 21 31 41
C1 = 21 22 32 42
C2 = 31 32 33 43
C3 = 41 42 43 44
三、MUL規則
有了上面的的了解，我們就可以很容易地知道，MUL到底用什么。當然是取決于這兩種選取規則。下面我們就逐一討論。 在此依然要聲明一下， 我們程序中的矩陣是按D3D標準存放。
１、采用SetMatrix, 采用按列選取（col-major picking）
在這樣的方式下，若我們將C0－C3按如下排開
C0
C1
C2
C3
則它是一個轉入矩陣的轉置矩陣。即Cx為先前矩陣的x列
而由我們先前提到的MUL（向量，矩陣）的ASM代碼可以得出。 這正是我們想要的。
dp4 oPos.x, v0, c0
dp4 oPos.y, v0, c1
dp4 oPos.z, v0, c2
dp4 oPos.w, v0, c3
于是，在這種方式下，我們采用的是MUL（向量，矩陣）
２、采用SetMatrix,采用按列選取(row-major picking)
在這樣的方式下，我們得到的和設置前的矩陣一樣。 由此看來，我們得到的矩陣與按行存儲的矩陣剛剛是一個轉置。 既然是這樣，那大家回憶一下矩陣運算法則
A*B ó BT*AT
這里若A*B對應的是Mul(向量，矩陣). 其中A為行向量即1Xn的矩陣，矩陣為nXm
那么Mul(矩陣，向量)則真好對應了上面的公式。
注：當向量作為第二個參數是，是一個列向量，即n X 1矩陣
所以，在這種方式下我們采用的是Mul(矩陣，向量)
３、不采用SetMatrix,采用按列選擇。
在這樣的方式下，相對于一方按，得到的矩陣和2方案相同。
４、不采用SetMatrix,采用按行選擇.得到的矩陣和1方案相同。
四、觀察矩陣的另類解釋和TBN空間的類推
在D3D SDK文檔中有一份這樣的公式。講述的是
D3DXMatrixLookAtLH
函數生成的東西。（這是一個左手觀察系，采用D3D的行矩陣方式存儲）
zaxis = normal(At - Eye)
xaxis = normal(cross(Up, zaxis))
yaxis = cross(zaxis, xaxis)
C1 C2 C3 C4
R1 xaxis.x yaxis.x zaxis.x 0
R2 xaxis.y yaxis.y zaxis.y 0
R3 xaxis.z yaxis.z zaxis.z 0
R4 -dot(xaxis, eye) -dot(yaxis, eye) -dot(zaxis, eye) l
計算機圖形學書上也講了如何推導這個矩陣。但貌似依然沒有給出為什么這樣寫就構成了觀察矩陣了。
首先明白觀察矩陣的目的是：將一個世界空間的坐標轉換到觀察坐系中。 即將一個由X,Y,Z軸構成的世界空間的坐標點調整到由攝相機的 上向量、觀察方向、右向量的空間中。 在這里，攝相機的右向量（上向量與觀察方向的叉乘）等同于世界坐標系中的X軸。 上向量等同于Y軸，觀察方向等同于Z軸。
然后，我們試著拿一個點與這個矩陣相乘。
V0*matView
按背景知識中講到的，我們得到的一個點V1是。
V1.x = V0.x·matView[C1]
V2.y = V0.y·matView[C2]
V3.z = V0.z·matView[C3]
V4.w = V0.w·matView[C4]
上面式子中 ·表示dp4
在中學的時候我們就學過，點乘表示一個向量在另一個向量上的投影。好吧，我們要的就是這東西。
上面的圖中（圖太丑了，見笑） AD即為AC在AB上的投影。
而-dot(xaxis, eye) -dot(yaxis, eye) -dot(zaxis, eye) 則是因為攝相機并不在原點，而我們在做投影變換的時候，以原點為觀察參考點會簡化很多工作。所以我們的頂點要先把自己移回原點才行。而移的多少，正好是原點到攝相機的位置構成的一個向量在自己各個軸上的投影。
于是，我們可以知道，乘以觀察矩陣， 就相當于是把一個點以原點為起點，自己為終點，構造一個向量，然后求出自己在由攝相機的各個軸構上的投影。最后再根據攝相機位置移回原點的過程。 由于我基本上不會畫圖，所以大家看起來有些吃力了。請各位見諒。 但這并不是什么復雜的事情，只要用上點乘是投影的這個理念，自然就想明白了。
而我們模型中的T B N信息。按以下方式構造出來的矩陣，則剛好是由模型空間到切線空間的轉換。
Tx Bx Nx
Ty By Ny
Tz Bz Nz
五、HLSL中矩陣的構造（為什么WorldToTargentSpaceMatrix要左乘LightDir）
在我們的NormalMapping等需要轉換到切線空間的映射中，常常看到這樣的代碼
Float3x3 matWorldToTargent = {WorldT,WorldB,WorldN};
又或者
Float3x3 matWorldToTargent;
matWorldToTargent[0] = WorldT;
matWorldToTargent[1] = WorldB;
matWorldToTargent[2] = WorldN;
//float3 LightDir;
LightDirInTS = mul(matWorldToTargent,LightDir);
我也看到網上許多人問這個問題，并且我先前也不是懂。 因為看到的HLSL代碼中，并沒有出現row-major matrix picking和column-major matrix picking轉換的代碼，也就是說，默認為column-major matrix picking。 當然會想到，我們構造出來的矩陣，其對應的寄存器值正好是
Cx = WorldT;
Cx+1 = WorldB;
Cx+2 = WroldN;
所以，它剛好是
Tx Bx Nx
Ty By Ny
Tz Bz Nz
的轉置，
Tx Ty Tz
Bx By Bz
Nx Ny Nz
應該用LightDirInTS = mul(LightDir，matWorldToTargent);才對。
顯然，我們被眼睛深深的欺騙了。
請看如下代碼
float4x4 mat;
mat[0] = float4(1,2,3,4);
mat[1] = float4(5,6,7,8);
mat[2] = float4(9,10,11,12);
mat[3] = float4(13,14,15,16);
mul(mat,inPos);
對應的是
def c4, 1, 2, 3, 4
def c5, 5, 6, 7, 8
def c6, 9, 10, 11, 12
def c7, 13, 14, 15, 16
而若將指令改為mul(inPos,mat); 那么常量存放的值為
def c4, 1, 5, 9, 13
def c5, 2, 6, 10, 14
def c6, 3, 7, 11, 15
def c7, 4, 8, 12, 16
并且，上面的數據與HLSL中的矩陣數據picking方式無關。而對矩陣的操作，則都為dp4 pos,cx，也就是說對于mul(inPos,mat);的情況，相當于是將其轉置，再進行dp4操作。 而對于mul(mat,inPos);則是直接進行dp4操作。 而按我們想要的，則第一種情況才滿足條件。 第二種是因為優化導致的先轉置再dp4，與前面提到的不轉置進行類似于下面的操作是一樣的。
mul r0, v0.y, c1
mad r0, c0, v0.x, r0
mad r0, c2, v0.z, r0
mad oPos, c3, v0.w, r0
若我們認定HLSL中構造矩陣是一個常量寄存器裝一個mat[i]。即第一種情況。 那么此時想當于得到的是未經轉置的矩陣，我們則認為，T B N在構造后，形成的是一個
Tx Ty Tz
Bx By Bz
Nx Ny Nz
mul(mat,inPos);剛好滿足要求。
若我們認定HLSL中構造矩陣的時候，一個常量寄存器不是裝一個mat[i] 面是將構造他的float4的各個分量分別存。 即第二種情況。那么得到的便是
Tx Bx Nx
Ty By Ny
Tz Bz Nz
我們想要它實現轉換，則必須轉置。 而由A*B ó BT*AT ，可知，mul(mat,inPos)即為所求。
第二種認定方案是比較容易讓人接受的方案。
花了三個小時的時間來總結這幾天糾結的問題，總算有一個收場。 其實還有一些關于RenderMonkey的問題，而有了上面的理解了，那些已經不是問題了。待有空再繼續總結。
原文地址: http://www.cppblog.com/Leaf/archive/2010/12/28/13
